תחרות מס': 25


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) כל פאה של תיבה בגודל 3x4x5 מחולקת למשבצות בגודל 1x1. האם אפשר למלא את המשבצות במספרים, כך שסכום המספרים בכל טבעת של משבצות בעובי 1 המקיפה את התיבה ומקבילה לאחת הפאות יהיה 120?
פתרון

2) במצולע קמור בעל 7 צלעות A3 A2 A1 A7 A6 A5 A4 האלכסונים A3 A1, A4 A2, A3 A5, A6 A4, A7 A5, A6 A1, A7 A2 שווים באורכם. גם האלכסונים A4 A1, A5 A2, A6 A3, A7 A4, A1 A5, A6 A2, A7 A3 שווים באורכם. האם המצולע הוא בהכרח שווה צלעות?
פתרון

3) עבור כל מספר שלם החל מ-n+1 ועד 2n ניקח את המחלק האי-זוגי הכי גדול שלו. נחבר את כל המספרים שנקבל. הוכיחו שהסכום שנקבל הוא n2.
פתרון

4) נתונות N נקודות במישור כך שאף שלוש מהן לא נמצאות על ישר אחד. חיברו כל נקודה עם כל נקודה ע"י קטע אדום או כחול. כתוצאה מכך כל הקטעים האדומים יצרו קו אחד שבור סגור שלא חותך את עצמו ולא נוגע בעצמו. כמו כן גם כל הקטעים הכחולים יצרו קו אחד שבור סגור שלא חותך את עצמו ולא נוגע בעצמו. מצאו את כל ה-N-ים עבורם זה ייתכן. מצאו, מי מהשחקנים יכול לנצח בלי תלות במהלכים של יריבו, ותארו כיצד עליו לשחק על מנת לנצח.
פתרון

5) על פס 1xN ב-25 משבצות שמאליות ביותר נמצאים 25 מטבעות אחד ליד השני. כל מטבע אפשר להזיז ימינה למשבצת הסמוכה על הפס אם המקום פנוי, או ימינה מעל מטבע אחר למשבצת הבאה אם היא פנויה. אסור להזיז מטבע שמאלה.
מהו ה-N הקטן ביותר שעבורו בעזרת מהלכים כאלה יהיה אפשר לסדר את המטבעות בסדר הפוך ובלי רווחים על הפס?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) עבור כל מספר שלם החל מ-n+1 ועד 2n ניקח את המחלק האי-זוגי הכי גדול שלו. נחבר את כל המספרים שנקבל. הוכיחו שהסכום שנקבל הוא n2.
פתרון

2) מהו המספר הקטן ביותר של ריבועים בגודל 1x1 שצריך לצייר, בשביל שיתקבל ציור של ריבוע בגודל 25x25 המחולק ל- 625 ריבועים בגודל 1x1?
פתרון

3) למוכר ולקונה יש ביחד 1999 שקלים בשטרות שערכם 1,5,10,50,100,500,1000 ₪. תיבת פנדורה עולה מספר שלם של שקלים, ולקונה יש מספיק כסף לקנותה. הוכיחו שהקונה יכול לקנות את התיבה ולקבל את העודף המדויק.
פתרון

4) על צלעותיו של ריבוע 1x1 בנו 4 משולשים ישרי זווית (כלפי חוץ), כך שכל צלע של הריבוע היא יתר במשולש המתאים. נניח ש-A,B,C, ו-D הם הקודקודים של הזוויות הישרות של המשולשים, ונסמן ב- O1, O2, O3, ו-O4 את מרכזי המעגלים החסומים במשולשים. הוכיחו ש:
א) שטח המרובע ABCD לא עולה על 2.
ב) שטח המרובע O4 O3 O2 O1 לא עולה על 1.
פתרון

5) חתכו פירמידה משולשת מנייר לאורך הקווים של 3 מקצועות שלא נמצאים על פאה אחת. האם ייתכן שלא ניתן לפרוס את הפירמידה על המישור בשכבה אחת, כלומר שלא יהיו כיסויים כפולים?
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) במשולש ABC חוצה הזווית A, האנך האמצעי ל- AB והגובה מ- B נחתכים בנקודה אחת. הוכח שחוצה הזווית A, האנך האמצעי ל- AC והגובה מ- C נחתכים באותה נקודה.
פתרון

2) מצא את כל המספרים הטבעיים n עבורם קיימים n מספרים טבעיים עוקבים שסכומם – מספר ראשוני.
פתרון

3) א. נתונים 3 קנקנים גדולים זהים; באחד מהם 3 ל' תרכיז, בשני 20 ל' מים והשלישי ריק. מותר לרוקן קנקן לקנקן אחר או לכיור; כמו כן מותר לבחור 2 קנקנים ולשפוך מים לאחד מהם מהקנקן השלישי עד שמפלס הנוזלים ב- 2 הקנקנים שנבחרו ישתווה. איך אפשר לקבל 10 ל' מיץ בריכוז 30%?
ב. אותה משימה כשנתונים N ל' מים: מצא את כל השלמים N עבורם ניתן להגיע ל- 10 ל' מיץ 30%.
פתרון

4) נתון מספר טבעי a>1; כשרושמים אותו פעמיים ברצף מקבלים מספר b שמתחלק ב-a2. מצא את כל הערכים האפשריים של b/a2.
פתרון

5) שני מספרים בעלי 10 ספרות נקראים שכנים אם הם נבדלים בספרה אחת בלבד. לדוגמא, המספרים 1234567890 ו- 1234507890 הם שכנים. כמה מספרים בעלי 10 ספרות ניתן לרשום כך שאף 2 מהם לא יהיו שכנים?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) הקטעים AB, BC ו- CD של קו שבור ABCD שווים באורכיהם ומשיקים למעגל שמרכזו בנקודה O. הוכיחו שנקודת ההשקה של המעגל עם BC, הנקודה O ונקודת חיתוך שלAC ו- BD נמצאות על ישר אחד.
פתרון

2) נתון מספר טבעי a>1; כשרושמים אותו פעמיים ברצף מקבלים מספר b שמתחלק ב-a2. מצא את כל הערכים האפשריים של b/a2.
פתרון

3) ההיקף של מרובע קמור שווה ל- 2004; לאחד מאלכסוניו אורך 1001. האם יתכן שלאלכסון השני אורך 1? 2? 1001? ההיקף של מרובע קמור שווה ל- 2004; לאחד מאלכסוניו אורך 1001. האם יתכן שלאלכסון השני אורך 1? 2? 1001?
פתרון

4) הסדרה החשבונית a1, a2, a3… מכילה את המספרים a12, a22, a32 (במקומות מסוימים). הוכיחו שכל איברי הסדרה מספרים שלמים.
פתרון

5) שני מספרים 10-ספרתיים נקראים שכנים אם הם נבדלים בספרה אחת בלבד. לדוגמא, המספרים 1234567890 ו- 1234507890 הם שכנים. מהי הכמות הגדולה ביותר של מספרים 10-ספרתיים שניתן לרשום כך שאף 2 מהם לא יהיו שכנים?
פתרון