תחרות מס': 24


תשס"ג (2002-2003)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) ישנם 2002 עובדים בבנק. כל העובדים הגיעו לארוחה חגיגית והתיישבו מסביב לשולחן עגול.
ידוע, כי הפרש השכר של כל 2 עובדים סמוכים שווה ל-2 או ל-3 שקלים.
מהו ההפרש המכסימלי שיתכן בין 2 עובדים בבנק, אם ידוע, כי אין 2 עובדים עם שכר זהה?
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

2. (5 נקודות) כל מיני הצמחים הקיימים בא"י מוספרו ע"י המספרים 2, ..., 20000 (בלי דילוגים וללא חזרות).
לכל זוג צמחים רשמו את המחלק המשותף המכסימלי של המספרים המתאימים, ושכחו את המספרים עצמם (בעקבות תקלה במחשב).
האם ניתן לשחזר את המספרים של כל המינים?
א. ו. שפוולוב
פתרון

3. (6 נקודות) קדקודיו של מצולע בן 50 צלעות מחלקים מעגל ל- 50 קשתות בעלות אורכים 1, 2, ..., 50 בסדר כלשהו. ידוע, כי לכל זוג של קשתות "נגדיות" (המתאימות לצלעות נגדיות של המצולע) הפרש האורכים שווה ל- 25.
הוכח/י כי למצולע יש 2 צלעות מקבילים.
ו. ו. פרואיזוולוב
פתרון

4. (6 נקודות) בתוך משולש CBA נבחרה נקודה P כך שהזויות PBA ו- PCA שוות, וכן הזויות PAC ו- PBC שוות.
הוכח/י כי P – נקודת חיתוך הגבהים ב- CBA.
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

5. (7 נקודות) מצולע קמור בעל N צלעות מתחלק למשולשים ע"י אלכסוניו שאינם חותכים זה את זה בתוך המצולע.
המשולשים צבועים בשחור ובלבן, כך שכל שני משולשים עם צלע משותפת צבועים בצבעים שונים.
לכל N טבעי, מהו ההפרש המכסימלי שיתכן בין מספר המשולשים השחורים לבין מספר הלבנים?
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

6. (9 נקודות) נתון מספר רב של כרטיסים, שעל כל אחד מהם רשום מספר טבעי בין 1 ל- n.
ידוע, כי סכום המספרים הרשומים על כל הכרטיסים שווה ל- n!·k כאשר k – מספר שלם.
יש להוכיח, שניתן לחלק את הכרטיסים ל- k קבוצות, כך שסכום המספרים בכל קבוצה יהיה !n.
ו. דוצנקו
פתרון

7. א) (5 נקודות) למעגל חשמלי יש צורה של סריג  3×3 ; במעגל 16 קדקודים (קדקודי הסריג), שמחוברים ע"י חוטי תיל (צלעות ריבועי הסריג).
יתכן שחלק מהחוטים נשרפו. תוך מדידה אחת ניתן לבחור שני קדקודים ולבדוק, אם זורם ביניהם זרם (דהיינו, האם קיימת שרשרת צלעות שמחברת את הקדקודים).
בפועל, יש שרשרת כזאת בין כל 2 קדקודים. תוך כמה מדידות ניתן לבדוק טענה זו?
ב) [5 נקודות] אותה שאלה עבור סריג  5×5 (36 קדקודים).
א. ו. שפוולוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) כל מיני הצמחים הקיימים בא"י מוספרו ע"י המספרים 2, ..., 20000 (בלי דילוגים וללא חזרות).
לכל זוג צמחים רשמו את המחלק המשותף המכסימלי של המספרים המתאימים, ושכחו את המספרים עצמם (בעקבות תקלה במחשב).
האם ניתן לשחזר את המספרים של כל הצמחים?
א. ו. שפוולוב
פתרון

2. (6 נקודות) קוביה נחתכה ע"י מישור כך שלחתך צורת מחומש.
יש להוכיח, שאורכו של אחד מצלעות של המחומש נבדל מ- 1m ב- 20cm לפחות.
ג. א. הלפרין
פתרון

3. (6 נקודות) מצולע קמור בעל N צלעות מתחלק למשולשים ע"י אלכסוניו שאינם חותכים זה את זה בתוך המצולע.
המשולשים צבועים בשחור ובלבן, כך שכל שני משולשים עם צלע משותפת צבועים בצבעים שונים.
לכל N טבעי, מהו ההפרש המכסימלי שיתכן בין מספר המשולשים השחורים לבין מספר הלבנים?
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

4. (8 נקודות) נתון מספר רב של כרטיסים, שעל כל אחד מהם רשום מספר טבעי בין 1 ל- n.
ידוע, כי סכום המספרים הרשומים על כל הכרטיסים שווה ל- n!·k כאשר k – מספר שלם.
יש להוכיח, שניתן לחלק את הכרטיסים ל- k קבוצות, כך שסכום המספרים בכל קבוצה יהיה !n.
ו. דוצנקו
פתרון

5. שני מעגלים נחתכים ב- 2 נקודות, A ו- B. דרך B העבירו ישר שחותך שנית את 2 המעגלים בנקודות K ו- M בהתאמה.
הישר l1 משיק ב- Q למעגל הראשון ומקביל ל-AM. תהי R נקודת החיתוך השנייה של הישר QA עם המעגל השני.
א) (4 נקודות) הוכח כי המשיק l2 למעגל השני בנקודה R מקביל ל-AK.
ב) (4 נקודות) הוכח כי הישרים l1 , l2 , KM נחתכים בנקודה אחת.
ו. י. פרוטסוב
פתרון

6. (8 נקודות) נתבונן בסדרה ששני איבריה הראשונים שווים ל- 1 ול-2 בהתאמה, וכל איבר לאחר מכן שווה למספר הטבעי הקטן ביותר שעוד לא הופיע בסדרה ולא זר לאיבר הקודם לו. הוכח/י שכל מספר טבעי מופיע בסדרה.
ג'. ס. לגריאס, א. מ. ריינס, נ. ג'. א. סלואן
פתרון

7. א) (4 נקודות) למעגל חשמלי יש צורה של סריג  3×3 ; במעגל 16 קדקודים (קדקודי הסריג), שמחוברים ע"י חוטי תיל (צלעות ריבועי הסריג).
יתכן שחלק מהחוטים נשרפו. תוך מדידה אחת ניתן לבחור שני קדקודים ולבדוק, אם זורם ביניהם זרם (דהיינו, האם קיימת שרשרת צלעות שמחברת את הקדקודים).
בפועל, יש שרשרת כזאת בין כל 2 קדקודים. תוך כמה מדידות ניתן לבדוק טענה זו?
ב) [5 נקודות] אותה שאלה עבור סריג  7×7 (64 קדקודים).
א. ו. שפוולוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) חיים כתב על הלוח משוואה ריבועית ax2+bx+c=0 עם מקדמים שלמים וחיוביים a, b, c . אחר-כך משה , אם הוא רוצה, יכול לשנות את הסימנים מ '+' ל '–' (אחד הסימנים או שניהם). אם למשוואה שהתקבלה שני השורשים שלמים חיים מנצח, אם לאומת זאת למשוואה אין שורשים, או שאחד מהם אינו שלם, אז משה הוא המנצח.
האם חיים יכול לבחור את מקדמי המשוואה כך שהוא תמיד ינצח?
פתרון

2. (4 נקודות) נתון משולש ABC עבורו R רדיוס המעגל החוסם, r רדיוס המעגל החסום, a אורך הצלע הארוכה ביותר, h אורך הגובה הקצר ביותר.
הוכח/י ש- R/r > a/h .
פתרון

3. בתחרות מסוימת כל אחת מ 15 הקבוצות שיחקה עם כל אחת מהקבוצות האחרות פעם אחת בדיוק.
א. (4 נקודות) הוכח/י שלפחות במשחק אחד נפגשו שתי קבוצות שלפני המפגש הזה השתתפו בסה"כ במספר אי-זוגי של משחקים בתחרות.
ב. (3 נקודות) האם ייתכן שהיה רק משחק אחד כזה?
פתרון

4. (7 נקודות) נתונה חתיכת שוקולד בצורת משולש משוכלל עם צלע באורך n, מחולק ע"י תעלות למשולשים קטנים עם צלעות באורך 1 (כל צלע מחולקת ל n חלקים שווים, נקודות החלוקה על כל זוג צלעות מחוברות ע"י תעלות המקבילות לצלע השלישית). שני שחקנים משחקים במשחק הבא: בכל תור אפשר לשבור פיסה משולשת (לאורך אחת התעלות) לאכול אותה, ולהעביר את שאר השוקולד ליריב. מי שקיבל את הפיסה האחרונה ( משולש עם צלע באורך 1) הוא המנצח. מי שלא יכול לעשות מהלך, בכל שלב במשחק, מפסיד. לכל n יש לבדוק מי מהשחקנים (השחקן הראשון, או יריבו) יכול לנצח בודאות במשחק.
פתרון

5. (7 נקודות) מהו המספר הגדול ביותר של משבצות על לוח 9×9 שאפשר לחתוך לאורך שני האלכסונים, כך שהלוח לא יתפרק למספר חתיכות?
פתרון

6. (7 נקודות) טרפז עם בסיסים AD ו-BC חוסם מעגל. E נקודת חיתוך האלכסונים.
הוכח/י שזווית AED לא יכולה להיות חדה.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתונה פירמידה משולשת ABCD עבורה R רדיוס הספירה החוסמת, r רדיוס הספירה החסומה, a אורך הצלע הארוכה ביותר, h אורך הגובה הקצר ביותר (על איזושהי פאה).
הוכח/י ש- R/r > a/h .
פתרון

2. (5 נקודות) נתונים פולינום (P(x עם מקדמים ממשיים, וסדרה אינסופית של מספרים טבעיים שונים : ... a1 , a2 , a3
כך ש- ... P(a1)=0 , P(a2)= a1 , P(a3)= a2 .
מה יכולה להיות המעלה של (P(x? מצא את כל התשובות האפשריות.
פתרון

3. (5 נקודות) האם אפשר לכסות את כל פאותיה של קוביה בעזרת שלושה משולשים בלי חורים ובלי כיסויים כפולים?
פתרון

4. (6 נקודות) במעגל חסום משולש ישר זווית ABC עם זווית ישרה ACB.
תהי K - אמצע הקשת BC שלא מכילה את נקודה N , A - אמצע הקטע AC ,
M - נקודת חיתוך הקרן KN עם המעגל. בנקודות A ו-C מועברים משיקים למעגל הנחתכים בנקודה E.
הוכח/י שזווית EMK היא ישרה.
פתרון

5. (6 נקודות) ישראל בחר מספר שלם הגדול מ- 100. שרה לא יודעת איזה מספר בחר ישראל.
היא בוחרת מספר שלם d הגדול מ-1. אם המספר של ישראל מתחלק ב-d אז שרה ניצחה,
אחרת ישראל מחסיר ממספרו את d והמשחק ממשיך. לשרה אסור לחזור על אותו מספר פעמיים.
אם המספר של ישראל הופך לשלילי שרה מפסידה. האם שרה יכולה לשחק כך שהיא תמיד תנצח?
פתרון

6. (7 נקודות) בכל משבצת של לוח 4×4 רשום סימן '+' או '-'. מותר להפוך את הסימן במשבצת כלשהי, ובכל המשבצות הסמוכות לה בו זמנית (משבצת סמוכה זאת משבצת שיש לה צלע משותפת עם המשבצת המקורית).
כמה טבלאות שונות אפשר לקבל ע"י הפעלה חוזרת של פעולות כאלו?
פתרון

7. (8 נקודות) בתוך ריבוע מסומנות מספר נקודות. מעבירים קטעים בין הנקודות ובין הנקודות לקדקודי הריבוע,
כך שהקטעים לא נחתכים, ומחלקים את הריבוע למשולשים, ואין נקודות בתוך הצדדים של המשולשים.
האם ניתן לבחור נקודות וקטעים כך שמספר הקטעים שמגיעים לכל נקודה ולכל קדקוד של ריבוע יהיה זוגי?
פתרון