תחרות מס': 24


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) במצולע בן 2002 צלעות הועברו כמה אלכסונים שאינם חותכים זה את זה (בתוך המצולע). כתוצאה מכך, התחלק המצולע ל-2000 משולשים. האם יתכן שבדיוק למחצית מן המשולשים כל הצלעות הם אלכסוני המצולע?
ר.ג.ג'נודרוב
פתרון

2) ניר ויעל בחרו במספר טבעי כל אחד ואמרו אותו לירון. ירון רשם את סכום המספרים על דף אחד, ואת מכפלתם על דף שני; לאחר מכן הסתיר את אחד מהדפים, ואת השני (עליו רשום היה המספר 2002) הראה ליעל ולניר. כשניר ראה את הדף, אמר כי אינו יודע, באיזה מספר בחרה יעל. כשיעל שמעה את הדבר, אמרה כי אינה יודעת, באיזה מספר בחר ניר. באיזה מספר בחרה יעל?
ד.קיריינקו
פתרון

3) א) בכתה נערכה בחינה. ידוע שלכל הפחות 2/3 מהבעיות נתגלו כקשות: לכל בעיה שכזאת לכל הפחות 2/3 מהתלמידים לא הצליחו לפתורה. כמוכן ידוע שלכל הפחות 2/3 מהתלמידים הצליחו בבחינה: כל תלמיד כזה פתר לפחות 2/3 מהבעיות. האם יתכן הדבר?
ב) האם תשתנה התשובה לשאלה, אם נחליף בכל מקום "2/3" ב- "3/4"?
ג) האם תשתנה התשובה לשאלה, אם נחליף בכל מקום "2/3" ב- "7/10"?
א.שן
פתרון

4) על השולחן מונחים 2002 כרטיסים עליהם רשומים המספרים 1, 2, ..., 2002. שני שחקנים לוקחים את הכרטיסים מהשולחן בזה אחר זה. אחרי שלא יישארו כרטיסים על השולחן, ינצח מי שהספרה האחרונה בסכום המספרים שבחר תהיה גדולה יותר. מצאו, מי מהשחקנים יכול לנצח בלי תלות במהלכים של יריבו, ותארו כיצד עליו לשחק על מנת לנצח.
מ.א.שפובלוב
פתרון

5) נתונה זווית ובתוכה נקודה A. האם ניתן להעביר דרך A שלושה ישרים כך שעל כל אחד מצלעות הזווית אחת מנקודות החיתוך עם הישרים תמצא בדיוק באמצע בין 2 האחרות?
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) ניר ויעל בחרו במספר טבעי כל אחד ואמרו אותו לירון. ירון רשם את סכום המספרים על דף אחד, ואת מכפלתם על דף שני; לאחר מכן הסתיר את אחד מהדפים, ואת השני (עליו רשום היה המספר 2002) הראה ליעל ולניר. כשניר ראה את הדף, אמר כי אינו יודע, באיזה מספר בחרה יעל. כשיעל שמעה את הדבר, אמרה כי אינה יודעת, באיזה מספר בחר ניר. באיזה מספר בחרה יעל?
ד.קיריינקו
פתרון

2) א) בכתה נערכה בחינה. ידוע שלכל הפחות 2/3 מהבעיות נתגלו כקשות: לכל בעיה שכזאת לכל הפחות 2/3 מהתלמידים לא הצליחו לפתורה. כמוכן ידוע שלכל הפחות 2/3 מהתלמידים הצליחו בבחינה: כל תלמיד כזה פתר לפחות 2/3 מהבעיות. האם יתכן הדבר?
ב) האם תשתנה התשובה לשאלה, אם נחליף בכל מקום "2/3" ב- "3/4"?
ג) האם תשתנה התשובה לשאלה, אם נחליף בכל מקום "2/3" ב- "7/10"?
א.שן
פתרון

3) מספר ישרים שאף שניים מתוכם אינם מקבילים זה לזה מחלקים את המישור למספר רכיבים. בתוך אחד הרכיבים נבחרה נקודה A. הוכיחו שנקודה שנמצאת עם A מצדדים שונים של כל אחד מהישרים, קיימת אם ורק אם הרכיב של A אינו חסום.
א.א.זאסלבסקיי
פתרון

4) יהיו x, y , z מספרים כלשהם בקטע (0, 90o) הוכיחו את האי-שוויון
x*cos(x)+y*cos(y)+z*cos(z))/(x+y+z) <= (cos(x)+cos(y)+cos(z))/3)
ו.קולוסוב
פתרון

5) בסדרה אינסופית של מספרים טבעיים כל מספר חדש מתקבל כשמוסיפים לקודמו את אחת מספרותיו השונות מ- 0. הוכיחו שבסדרה קיים מספר זוגי.
א.ו.שפובלוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) 2003 שקלים חולקו ל-N ארנקים, והארנקים הוכנסו ל-M כיסים. ידוע ש- N (שמספר הארנקים) גדול ממספר השקלים בכל כיס. האם זה נכון שתמיד יש ארנק שבו נמצאים פחות מ-M שקלים? (אסור להכניס ארנקים אחד לתוך השני.)
פתרון

2) שני שחקנים משחקים במשחק. כל שחקן בתורו צובע צלע של מצולע בעל N צלעות. הראשון יכול לצבוע רק צלעות שנוגעות ב 0 או ב 2 צלעות צבועות, והשני יכול לצבוע רק צלעות שנוגעות בצלע צבועה אחת בדיוק. המפסיד הוא זה שבתורו, לא יכול לצבוע אף צלע. עבור אילו ערכים של N השחקן השני יכול לנצח בלי קשר למהלכים של הראשון?
פתרון

3) על השוקיים AB ו-BC של משולש שווה שוקיים ABC לקחו נקודות K ו-L בהתאמה כך ש- AK+LC=KL . מנקודה M - נקודת אמצע הקטע KL העבירו ישר שמקביל ל-BC, וחותך את הצלע AC בנקודה N. מצא/י את גודל הזווית KNL.
פתרון

4) בסדרת מספרים טבעיים כל מספר פרט לראשון מתקבל מהקודם ע"י הוספת הספרה הגדולה ביותר שלו. מהו המספר הגדול ביותר האפשרי של מספרים עוקבים בסדרה שהם אי-זוגיים?
פתרון

5) האם אפשר לרצף לוח בגודל 2003x2003 באבני דומינו בגודל 2x1 שאפשר להניח רק בצורה אופקית, ומלבנים בגודל 3x1 שאפשר להניח רק בצורה אנכית? ( שני צידי לוח מנוגדים מוגדרים כאופקיים, ושני צידי הלוח האחרים מוגדרים אנכיים.)
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) 2003 שקלים חולקו ל-N ארנקים, והארנקים הוכנסו ל-M כיסים. ידוע ש- N (שמספר הארנקים) גדול ממספר השקלים בכל כיס. האם זה נכון שתמיד יש ארנק שבו נמצאים פחות מ-M שקלים? (אסור להכניס ארנקים אחד לתוך השני.)
פתרון

2) נתונים 100 מקלות שמהם ניתן לבנות מצולע בעל 100 צלעות, האם יתכן שמשום תת-קבוצה קטנה יותר של מקלות אלו לא ניתן לבנות מצולע ?
פתרון

3) במשולש ABC לקחו נקודה M כך שרדיוסי המעגלים החוסמים את המשולשים ABM, ACM ו BCM לא קטנים מרדיוס המעגל החוסם את ABC. הוכח/י שכל ארבעת הרדיוסים שווים.
פתרון

4) 100 פתקים עם מספרים הונחו בשורה בסדר עולה: 00, 01, 02, ... , 99 לאחר מכן החליפו את מקומות הפתקים כך שכל פתק מתקבל מהקודם ע"י הגדלת או הקטנת אחת הספרות שבו. (לדוגמא אחרי 29 יכול לבוא 19 או 39 או 28 אך לא 20 או 30). מהו המספר הגדול ביותר של פתקים שהיו יכולים להישאר במקום?
פתרון

5) נתון מלבן מקרטון עם צלעות באורךa ו-b ס"מ כך שמתקיים b/2 < a < b . הוכח/י שאפשר לחתוך אותו לשלושה חלקים שמהם ניתן להרכיב ריבוע.
פתרון