תחרות מס': 23


תשס"ד (2001-2002)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. [4 נקודות] האם קיימים מספרים טבעיים a1 < a2 < a3 < ... < a100 כאלה ש:
(gcd(a1, a2) > gcd(a2, a3) > ... > gcd(a99, a100 ?
( (gcd(a, b – זה המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים a ו-b,
ז"א המספר הטבעי הגדול ביותר שגם a וגם b מתחלקים בו).
א. ו. שפוולוב
פתרון

2. [5 נקודות] N נקודות אדומות ו-N נקודות כחולות, הבאות לסירוגין, מחלקות מעגל ל-2N קשתות כך שכל זוג קשתות סמוכות נבדלות באורכן. עם זאת, אורכי כל הקשתות שוות לאחד משלושת המספרים b ,a ו-c. הוכח/י שה-N-צולע עם הקודקודים הכחולים וה-N-צולע עם הקודקודים האדומים הם בעלי היקפים ושטחים שווים.
ו. ו. פרואיזוולוב
פתרון

3. [5 נקודות] נתונה טבלה n – 2)×n) , כאשר n>2 , אשר בכל משבצת שלה רשום מספר מ-1 עד n, כך שבכל שורה ובכל עמודה כל המספרים שונים. הוכח/י שניתן להשלים את הטבלה לריבוע n×n, כך שבכל משבצת יהיה מספר מ-1 עד n ושוב, בכל שורה ובכל עמודה כל המספרים יהיו שונים.
ס. מיחיילוב
פתרון

4. [5 נקודות] מצולע משוכלל בעל 2n+1 מחולק ל-2n-1 משולשים ע"י אלכסונים.
הוכח/י שמבינהם יש לפחות שלושה שווי-שוקיים.
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

5. [6 נקודות] אבישי מעמיד צריחים על לוח שחמט ריק: את הראשון – על כל משבצת שירצה, וכל אחד מהבאים כך שיאיים על מספר אי-זוגי מהצריחים שהועמדו קודם. מהו מספר הצריחים המירבי שיוכל להעמיד כך?
(כמו תמיד, צריחים מאיימים אחד על השני באנכים ושורות כשאין ביניהם צריחים אחרים).
א. ו. שפוולוב
פתרון

6. [8 נקודות] מספר מספרים רשומים בשורה. כל שניה, רובוט בוחר שני מספרים סמוכים כלשהם, כך שהמספר השמאלי גדול מהימני, מחליף אותם במקומות וכופל ב-2.
הוכח/י שאחרי זמן מה, לא ניתן יהיה לבצע פעולה כזאת נוספת.
א. ו. שפוולוב
פתרון

7. [8 נקודות] ידוע שהמספר 2333 הוא בעל 101 ספרות ומתחיל מ-1.
כמה מספרים בסדרה 2, 4, 8, 16, ... , 2333 מתחילים מ-4?
(הרישום 2333 אומר "2 בחזקת 333").
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. [4 נקודות] על המישור נתונות שלוש נקודות אדומות, שלוש נקודות כחולות ונקודה נוספת O.
ידוע ש-O נמצאת בתוך המשולש עם הקודקודים האדומים ובתוך המשולש עם הקודקודים הכחולים.
כמו כן, ידוע שהמרחק מ-O לכל נקודה אדומה קטן מהמרחק מ-O לכל נקודה כחולה.
היתכן שכל הנקודות האדומות והכחולות נמצאות על מעגל אחד?
פ. א. קוז'בניקוב
פתרון

2. [5 נקודות] האם קיימים מספרים טבעיים a1 < a2 < a3 < ... < a100 כאלה ש:
(lcm(a1, a2) > lcm(a2, a3) > ... > lcm(a99, a100 ?
( (lcm(a, b – זאת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המספרים a ו-b, ז"א המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק גם ב-a וגם ב-b).
א. ו. שפוולוב
פתרון

3. [6 נקודות] משבצותיו של לוח שחמט ממוספרות מ-1 עד 64 כך שמספרים סמוכים נמצאים במשבצות סמוכות (לפי צלע).
מהו סכום המספרים הקטן האפשרי על האלכסון הראשי?
א. ו. שפוולוב
פתרון

4. [6 נקודות] F3, F2, F1, ... - סדרה של מרובעים קמורים, כש- Fk+1 מתקבל מ- Fk כך: חותכים את Fk באלכסון, את אחד החלקים הופכים ומדביקים בחזרה לשני לאורך קו התפר (...,k = 1, 2, 3).
מהו מספר המרובעים השונים הגדול ביותר אשר הסדרה יכולה להכיל?
(מרובעים נחשבים שונים כאשר לא ניתן להעביר אחד לשני ע"י צירוף כלשהו של הזזות סיבובים ושיקופים).
א. טוקרבה
פתרון

5. [7 נקודות] נתונה סדרה חשבונית אינסופית של מספרים טבעיים. בכל איבר הדגישו מספר ספרות סמוכות כך שבאיבר הראשון מודגשת הספרה 1, בשני הספרה 2 וכך הלאה (לכל n טבעי, הספרות המודגשות באיבר ה-n יוצרות את המספר n). הוכח/י שצעד הסדרה הוא חזקה של המספר 10.
א. ו. שפוולוב
פתרון

6. [7 נקודות] 23 קופסאות עם כדורים עומדות בשורה, כך שלכל מספר n מ-1 עד 23 ישנה קופסה עם n כדורים בדיוק. בפעולה אחת ניתן להעביר לכל קופסה את מספר הכדורים אשר כבר נמצאים בה מקופסה אחרת כלשהי. האם תמיד ניתן להשיג על ידי פעולות כאלה, מצב בו בקופסה הראשונה יש כדור אחד, בשניה שנים, בשלישית שלושה וכך הלאה?
ר. ג. ז'נודרוב
פתרון

7. על מישור עם קואורדינטות ממוקם משולש כך שהזזותיו בוקטורים עם קואורדינטות שלמות (פרט לווקטור האפס) לא נחתכות. הכוונה במושג הזזות שאינן נחתכות היא שאין נקודות פנימיות במשולשים שמתלכדות.
א) [3 נקודות] היתכן כי שטח המשולש עולה על ½?
ב) [6 נקודות] מצא/י את שטח המירבי של משולש כזה.
י. צ'רפאנוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. [4 נקודות] יהיו a, b, c – אורכי הצלעות של משולש. הוכח/י את האי-שוויון הבא:
a3 + b3 + 3·abc > c3
ו. א. סנדרוב
פתרון

2. [4 נקודות] על לוח משבצות בגודל 23×23 עומדות ארבע דמקות: בפינה הימנית העליונה ובפינה השמאלית התחתונה – דמקות לבנות, ופינה הימנית התחתונה ובשמאלית העליונה – דמקות שחורות. בכל תור, אחת מהדמקות זזה למשבצת פנויה סמוכה (לפי צלע) כלשהי. לבנים ושחורים מתחלפים לפי התור, הלבנים מתחילים. מטרת הלבנים היא למקם את הדמקות שלהם בשני משבצות סמוכות לפי צלע. האם השחורים יכולים להפריע להם?
י. זינין, פ. קוז'בניקוב
פתרון

3. [6 נקודות] במרובע הקמור ABCD הנקודות E ו-F הן אמצעי הצלעות BC ו-CD בהתאמה. הקטעים AE, AF, EF מחלקים את המרובע לארבע משולשים, שהשטחים שלהם שווים (בסדר כלשהו) למספרים טבעיים סמוכים. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של שטח המשולש ABD?
ס. שסטאקוב
פתרון

4. [7 נקודות] העמידו n נורות בשורה והדליקו כמה מתוכן. בכל דקה אחרי זה, כל הנורות שדלקו בדקה שעברה כבו, ומבין הנורות שלא דלקו הנורות שהייתה להן נורה דולקת סמוכה אחת בדיוק נדלקו. לאילו ערכים של n ניתן לבחור את הנורות הדולקות בהתחלה כך שבכל דקה לאחר מכן תדלוק לפחות נורה אחת?
א. גורבאצ'וב
פתרון

5. [7 נקודות] חתכו משולש שכל זוויותיו חדות לשני חלקים (לא בהכרח משולשים) באמצעות קו ישר, אז חתכו את אחד מהם שוב לשני חלקים וכך הלאה: בכל צעד בחרו את אחד החלקים הקיימים וחתכו אותו (בקו ישר) לשניים. לאחר מספר צעדים התברר כי המשולש המקורי התפרק למספר משולשים. האם יתכן שלכולם יש זווית כהה?
ג. הלפרין
פתרון

6. [7 נקודות] בסדרת מספרים טבעיים אינסופית עולה, כל מספר החל מהמספר ה-2002 הוא מחלק של סכום כל המספרים הקודמים לו. הוכח/י, כי כל מספר בסדרה החל ממקום מסוים שווה לסכום כל המספרים הקודמים לו.
א. ו. שפוולוב
פתרון

7. [8 נקודות] עם שרשרת דומינו, הבנויה לפי הכללים הרגילים, מותר לעשות את הפעולה הבאה: לבחור רצף של אבני דומינו בתוך השרשרת עם נקודות זהות בקצוות הרצף, להפוך את כולו ולהכניס בחזרה לאותו המקום. הוכח/י, שאם לשתי שרשרות שכך אחת מהן בנוייה מחבילת דומינו תקינה מלאה, אז ניתן להפוך את סדר אבני הדומינו באחת לאותו הסדר כמו בשניה באמצעות פעולות מותרות.
א. ו. שפוולוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. [4 נקודות] ערכי פונקצית ה- tan של הזויות של משולש מסוים הם מספרים שלמים.
מצא/י את אותם הערכים.
א. א. זסלאבסקי
פתרון

2. [4 נקודות] האם נכון שעל גרף הפונקציה y = x3 ניתן לבחור נקודה A
ועל גרף הפונקציה y = x3 + |x| + 1 ניתן לבחור נקודה B ,
כך שהמרחק AB לא יעלה על 1/100 ?
א. ספיבק, א. חצ'טוריאן
פתרון

3. [5 נקודות] בסדרת מספרים טבעיים אינסופית עולה, כל מספר החל ממקום מסוים הוא מחלק של סכום כל המספרים הקודמים לו.
הוכח/י, כי כל מספר בסדרה החל ממקום מסוים שווה לסכום כל המספרים הקודמים לו.
א. ו. שפוולוב
פתרון

4. [5 נקודות] חבורה של אוהדי תאטרון קנו כרטיסים כולם לאותה השורה, אך התיישבו באקראי, כשכל אחד התיישב על מושב של מישהו אחר. הכרטיסן יכול בכל מהלך להחליף מקומות כל שני שכנים שיושבים על מקומות שלא מתאימים להם) אך אינו יכול להזיז אוהד תאטרון שכבר יושב על מקומו).
האם נכון שלכל סדר ישיבה התחלתי, הכרטיסן יכול לבצע שורת מהלכים כך שכל אחד יגיע למקומו?
א. ו. שפוולוב
פתרון

5. [6 נקודות] יהיו AA1, BB1, CC1 – גובהי משולש ABC שכל זוויותיו חדות.
OA, OB, OC הם מרכזי המעגלים החסומים במשולשים AB1C1, BC1A1, CA1B1 בהתאמה;
TA, TB, TC – נקודות ההשקה של המעגל החסום במשולש ABC עם הצלעות BC, AC, AB בהתאמה.
הוכח/י, כי כל צלעות המשושה TAOCTBOATCOB שוות.
ל. א. ימליאנוב
פתרון

6. [7 נקודות] חפיסה של 52 קלפים הונחה בצורה של מלבן 4×13.
ידוע, שאם שני קלפים מונחים בצמוד במאונך או במאוזן, הם או מאותו סדרה או בעלי אותו ערך נקוב.
הוכח/י, שבכל שורה מאוזנת (של 13 קלפים) כל הקלפים הם מאותה הסדרה.
א. ו. שפוולוב
פתרון

7. [8 נקודות] האם קיימים מספרים אי-רציונליים a ו-b, כך ש- a > 1, b > 1, ו-[an] שונה מ-[bm]
לכל בחירה של מספרים טבעיים m ו-n   ?
([x] מסמן את החלק השלם של x, זאת אומרת את המספר השלם הגבוה ביותר שלא עולה על x)
ו. א. סנדרוב , א. ספיבק
פתרון