תחרות מס': 23


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) בטרפז ABCD עם בסיסים AB ו-CD נתונה נקודה K על השוק AB. דרך הנקודה A העבירו את ישר l המקביל לישר KC, ודרך נקודה B העבירו את ישר m המקביל לישר KD. הוכח/י שנקודת החיתוך של הישרים l ו-m נמצאת על השוק CD.
ו.או.בוגאיינקו
פתרון

2) יהושפט הכפיל את n המספרים הטבעיים הראשונים וצפניה הכפיל את m המספרים הזוגיים הראשונים (m ו-n גדולים מ-1). הוכח/י שלפחות אחד הילדים טעה.
ו.א.סנדרב
פתרון

3) באוסף של אחימלך יש ארבעה שקלי זהב מימי המכבים. נאמר לו ששניים מהם מזויפים. אחימלך רוצה לבדוק (להוכיח או להפריך) שבדיוק שניים מהמטבעות מזויפים. האם יצליח לעשות זאת באמצעות שתי שקילות על מאזניים עם שתי כפות וללא משקולות נוספות (המטבעות האמיתיים זהים במשקלם, המטבעות המזויפים גם זהים במשקלם, אך המזויפים קלים מהאמיתיים)?
נ.נ.קונסטנטינוב
פתרון

4) 5 כדורים זהים, במרחקים כלשהם אחד מהשני, נעים על ישר לאותו כיוון. לקראתם באים 5 כדורים נוספים כאלה. מהירויות כל הכדורים שוות בגודלן. כששני כדורים נפגשים הם חוזרים בכיוונים מנוגדים, עם מהירויות שוות בגודלן לאלה שהיו להם לפני ההתנגשות. כמה התנגשויות יתרחשו בין הכדורים?
א.ניקולייב
פתרון

5) על המישור מסומנות כמה (יותר משלוש) נקודות. ידוע, שאם לזרוק נקודה כלשהי, הנקודות שיוותרו יהיו סימטריות ביחס לישר כלשהו. האם נכון, שקבוצת כל הנקודות גם סימטרית ביחס לישר כלשהו?
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) נכנה קטע אנך היורד מקודקוד במחומש על הצלע הנגדית גובה. נכנה קטע המחבר קודקד במשולש עם אמצע הצלע הנגדית תיכון. ידוע, שאורכי כל הגבהים וכל התיכונים במחומש מסוים שוים לאותו מספר. הוכח/י שמחומש זה מושלם (ז"א, שווה צלעות ושווה זוויות).
ר.ג.ג'נודרוב
פתרון

2) קיים רצף של 1000 מספרים טבעיים ראשוניים (למשל !1001 + 2, !1001 + 3, ..., !1001 + 1001). אולם, האם קיים רצף של 1000 מספרים טבעיים בו בדיוק 5 מספרים ראשוניים?
ג.גלפרין
פתרון

3) 5 כדורים זהים, במרחקים כלשהם אחד מהשני, נעים על ישר לאותו כיוון. לקראתם באים 5 כדורים נוספים כאלה. מהירויות כל הכדורים שוות בגודלן. כששני כדורים נפגשים הם חוזרים בכיוונים מנוגדים, עם מהירויות שוות בגודלן לאלה שהיו להם לפני ההתנגשות. כמה התנגשויות יתרחשו בין הכדורים?
א.ניקולייב
פתרון

4) על עוגה ריבועית ממוקמים ממתקי שוקולד משולשיים שלא נוגעים אחד בשני. האם תמיד ניתן לחתוך את העוגה למצולעים קמורים, כך של מצולע יכיל ממתק אחד – לא פחות ולא יותר? (העוגה נחשבת לריבוע שטוח. צורה נקראת קמורה כאשר עם כל שתי נקודות היא מכילה את הקטע שמחברן).
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון

5) בפינה התחתונה השמאלית של לוח שחמט, במשבצת הסמוכה מעל ובמשבצת הסמוכה מימין עומדים צריחים לבנים. מותר לעשות מסעות לפי החוקים הרגילים, אך אחרי כל מסע כל צריח צריך להיות מוגן ע"י צריח אחר כלשהו. האם ניתן, אחרי מספר מסעות, למקם את הצריחים מחדש, בצורה סימטרית למצב ההתחלתי ביחס לאלכסון המחבר את הפינה השמאלית העליונה והפינה הימנית התחתונה?
א.ו.שפובלוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) ישנם הרבה מלבני קרטון זהים בגודל axb ס"מ, כש-a ו-b – מספרים שלמים ו-a קטן מ-b. ידוע, שמקרטונים כאלה ניתן לחבר מלבן 49x51 ס"מ ומלבן 99x101 ס"מ. האם ניתן לקבוע את a ואת b חד-משמעית ממידע זה?
ס.א.דוריצ'נקו
פתרון

2) האם ניתן לחתוך משולש כלשהו ל-4 צורות קמורות: משולש, מרובע, מחומש ומשושה?
א.א.זאסלבסקיי
פתרון

3) עבור שני המספרים הטבעיים x ו-y המספר x 2 + xy + y 2 ברישום עשרוני מסתיים באפס. הוכח/י, שהמספר מסתיים לפחות בשני אפסים.
ו.פרואיזולוב
פתרון

4) הצלעות AB, BC, CD, DA של המרובע ABCD משיקות למעגל כלשהו בנקודות K, L, M, N בהתאמה. S היא נקודת החיתול של הקטעים KM ו-LN. ידוע שאת המרובע SKBL ניתן לחסום במעגל. הוכח/י, שגם את המרובע SNDM ניתן לחסום במעגל.
א.אקוליאן
פתרון

5) א) ישנם 128 מטבעות עם שני משקלים שונים, כשכמות המטבעות עם כל אחד מהמשקלים שווה. איך להבטיח מציאת שני מטבעות עם משקלים שונים באמצעות לא יותר משבע שקילות במאזני כף ללא משקולות?
ב) ישנם שמונה מטבעות עם שני משקלים שונים, כשכמות המטבעות עם כל אחד מהמשקלים שווה. איך להבטיח מציאת שני מטבעות עם משקלים שונים באמצעות שתי שקילות במאזני כף ללא משקולות?
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) עבור שני המספרים הטבעיים x ו-y המספר x 2 + xy + y 2 ברישום עשרוני מסתיים באפס. הוכח/י, שהמספר מסתיים לפחות בשני אפסים.
ו.פרואיזולוב
פתרון

2) לקחו שני משולשים זהים עשויים מנייר, ABC ו A1B1C1, הפכו אחד מהם, והניחו אותם על שולחן מישורי. הוכח/י, כי אמצעי הקטעים AA1, BB1, CC1 נמצאים על ישר אחד.
ו.או.בוגאיינקו
פתרון

3) נתונים שישה גושי גבינה, שונים במשקל. ידוע, שאפשרי לחלק את הגבינה לשני חלקים זהים לפי משקל, 3 גושים בכל חלק. כיצד למצוא חלוקה כזאת באמצעות שתי שקילות בלבד (במאזני כף), בתנאי שלכל שני גושי גבינה שונים רואים בעין איזה מהם יותר כבד?
א.ו.שפובלוב
פתרון

4) בכמה דרכים אפשר להציב את כל המספרים הטבעיים בין 1 ל- 100 במשבצות של לוח ריבועי 2x50 , מספר אחד בכל משבצת, כך שכל שני מספרים עוקבים יהיו במשבצות סמוכות (משבצות עם צלע משותף) ?
א.ו.שפובלוב
פתרון

5) האם קיימת מנסרה משולשת משוכללת, שאפשר לכסות את שטח פניה ללא התלכדות על ידי מספר משולשים משוכללים, כך שכל שני המשולשים הם בגודל שונה? (מותר לקפל את המשולשים כך שהם יעטפו את צלעות המנסרה)
הבהרות: במנסרה משולשת משוכללת כל השוקיים מאונכים לבסיסים. שני הבסיסים הם משולשים משוכללים. כל המשולשים שמשתמשים בהם צריכים להיות משוכללים, וכולם בגודל שונה. שום חלק מאף משולש לא צריך להיות "תלוי באוויר". כל השטח של המנסרה צריך להיות מכוסה, גם הבסיסים וגם הפאות הצדדיות. אסור שמשולשים יעלו אחד על השני, אבל מותר להם לגעת אחד בשני.
פ.א.ימליינוב
פתרון