תחרות מס': 22


תשנ"ט (2000-2001)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונה טבלא N×N בכל משבצת רשום מספר, וכל המספרים בטבלא שונים.
בכל שורה סמנו מספר הכי קטן, והתברר שכל המספרים שסומנו נמצאים בעמודות שונות.
אחר כך בכל עמודה סמנו מספר הכי קטן, והתברר שכל המספרים שסומנו הפעם נמצאים בשורות שונות.
הוכח, שבשני הפעמים סומנו אותם המספרים.
ו. א. קלפצין
פתרון

2. (3 נקודות) בין שני ישרים נמצא מעגל שרדיוסו 1, והוא משיק לשני הישרים. בסיס של משולש שווה שוקיים נמצא על אחד הישרים, וראשו על ישר אחר.
ידוע, שלמשולש ומעגל יש רק נקודה משותפת אחת, ונקודה זו נמצאת על המעגל החסום של משולש.
מצא את רדיוס המעגל החסום של המשולש.
ר. ק. גורדין
פתרון

3. (4 נקודות) מספרים טבעיים A, B, C, D הם כאלה שכפולה המשותפת המינימאלית של המספרים האלה
היא A+B+C+D. הוכח כי ABCD מתחלק ב-3 או ב-5 (או אולי בשניהם).
ו. א. סנדרוב
פתרון

4. (4 נקודות) מתבוננים בלוח 8×8 שמשבצותיה עדיין לא צבועים.
בכמה דרכים ניתן לצבוע את הלוח בשחור ולבן כך שיהיו בדיוק 31 משבצות שחורות,
ולאף שני משבצות שחורות לא תהיה צלע משותפת?
(ציין את כמות הצביעות והוכח שכל הצביעות נלקחו בחשבון, שני שיטות צביעה נחשבות שונות אם יש משבצת מסוימת שהיא לבנה באחת השיטות ושחורה בשיטה האחרת)
ר. ג. ז'נודארוב
פתרון

5. (6 נקודות) על כף ימני של מאזניים נמצא גוף שמשקלו 11111 גרם.
איש המשקולות מניח משקולות על שני כפות המאזניים, כאשר משקל של המשקולות הראשונה הוא 1 גרם, וכל משקולת בהמשך כבדה פי 2 מהמשקולת הקודמת. ברגע מסוים המאזניים הגיעו לשיווי משקל.
על איזה כף נמצאת המשקולת של 16 גרם?
א. ו. קאלינין
פתרון

6. (7 נקודות) באביב של 2000 במדינה מסוימת השתתפו N תלמידי כיתות י"א – י"ב בתחרות הערים.
כל שאלה נפתרה על ידי בדיוק 1000 תלמידים, אבל לא היו שני תלמידים שפתרו ביחד את הכל.
מהו הערך הקטן ביותר האפשרי עבור N?
(יש לתת תשובה, להוכיח שעבור המספר שציינתם התנאים יכולים להתקיים, ולהוכיח שעבור מספר קטן יותר של משתתפים תנאי השאלה לא יתקיימו).
ר. ג. ז'נודארוב
פתרון

7. (8 נקודות) לתלמיד כיתה א' יש 100 כרטיסים, שרשומים עליהם מספרים טבעיים מ-1 עד 100, וגם כמות גדולה של סימני "+" ושל סימנים "=".
איזה כמות מרבית של שוויונות נכונים הוא יכול לייצר?
כל כרטיס אפשר לנצל רק פעם אחד, בכל שוויון יכול להיות רק סימן אחד של "=", אסור להפוך כרטיסים ולהצמיד אותם על מנת ליצור מספרים חדשים.
ר. ג. ז'נודארוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מספרים טבעיים A, B, C, D הם כאלה שכפולה המשותפת המינימאלית של המספרים האלה היא A+B+C+D.
הוכח כי ABCD מתחלק ב-3 או ב-5 (או אולי בשניהם).
ו. א. סנדרוב
פתרון

2. (4 נקודות) עבור איזה מספר N הכי גדול אפשר לבחור N נקודות על משטח של קוביה אבל לא על אותה פאה כך שהן יהיו הקודקודים של מצולע משוכלל מישורי?
א. ו. שפובלוב
פתרון

3. (4 נקודות) צלעות המשולש ABC נתונות: BC = a , AC = b , AB = c.
על הקרניים AC , BC נלקחו נקודות A1 , B1 בהתאמה כך ש- BB1 = AA1 = c.
על הקרניים CA , BA נלקחו נקודות C2 , B2 בהתאמה כך ש- CC2 = BB2 = a.
מצא את היחס בין קטע A1B1 לקטע C2B2.
ר. ג. ז'נודארוב.
פתרון

4. נניח שמספרים a1 , a2 , … , an שלמים שונים מ-0 כאלה שמתקיים השוויון

עבור כל х שבו האגף הימני מוגדר.
א. (3 נקודות) הוכח כי n זוגי.
ב. (4 נקודות) עבור איזה n הכי קטן קיימים מספרים כאלה?
מ. ב. סקופנקוב
פתרון

5. (6 נקודות) משבצות הלוח M×N צבועות בשני צבעים. נתון, שאם מציבים לוח על משבצת כלשהי, רוב המשבצות שהוא יאיים עליהן תהיינה בצבע שונה מצבע המשבצת עלייה עומד הצריח (המשבצת מתחת לצריח גם נחשבת למשבצת שנמצאת תחת איום).
הוכח שבכל שורה ובכל עמודה יש מספר שווה של משבצות מכל צבע.
א. ו. שפובלוב
פתרון

6. (כל סעיף 5 נקודות)
א. מספר ריבועים שחורים שאורך צלעותיהם 1 ס"מ מחוברים למישור לבן באמצעות מסמר שהעובי שלו 0.1 ס"מ. כך נוצר מצולע שחור.
האם יתכן שההיקף של הצורה הזאת גדול מקילומטר? (המסמר לא נוגע בגבולות הריבועים)
ב. אותה שאלה, אבל עובי המסמר 0 (מסמר נקודתי).
ג. מספר ריבועים שחורים שצלעותיהם 1 והם נמצאים על מישור לבן, יוצרים צורה (שהיא יכולה להיות מורכבת ממספר חלקים ועלולים להיות בה חורים).
האם היחס בין היקף הצורה לשטח שלה להיות יותר גדול מ-100000?
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'

1. (3 נקודות) במדינה יש 10% עובדים שהמשכורת שלהם מהווה 90% מסכום המשכורות במדינה הזאת.
המדינה מחולקת לאזורים. האם יכול להיות שבכל איזור משכורת של כל 10% מהעובדים אינה עולה על 11% של סכום המשכורות באזור זה?
מ. נ. ויאלי
פתרון

2. (5 נקודות) נתונות 3 ערמות של אבנים: בערמה ראשונה 51 אבנים, בשנייה 49 אבנים, בשלישית 5 אבנים.
מותר לאחד כל שתי ערמות, ואפשר גם להפריד ערמה שמורכבת ממספר זוגי של אבנים, לשני חצאים.
האם אפשר באמצעות פעולות כאלו להגיע ל-105 ערמות, אבן אחת בכל ערמה?
ו. א. קלפצין
פתרון

3. (5 נקודות) בתוך זווית שקודקודו M נבחרה נקודה A. מהנקודה זו שולחים כדור ביליארד נקודתי שמוחזר מצלע אחת בנקודה B, ואחר-כך מהצלע השנייה בנקודה C, ואז חוזר שוב ל-A (זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה).
הוכח שמרכז O של המעגל החוסם את BCM נמצא על ישר AM.
א. א. זסלאבסקי, א. פ. שריגין
פתרון

4. (5 נקודות) על הלוח ציירו מצולע קמור. בתוך המצולע הזה העבירו מספר אלכסונים שנחתכים בתוכו, כך שהמצולע פורק למשולשים. אחרי זה ליד כל קודקוד רשמו כמות המשולשים שמכילים את הקודקוד, ואז מחקו את האלכסונים.
האם לפי המספרים שרשומים ליד הקודקוד אפשר לשחזר את המספרים?
ס. א. זייצב
פתרון

5. א. (3 נקודות) על שני משבצות של לוח שח מציבים שני דמקות: שחורה ולבנה.
מותר בל מהלך להעביר דמקה אחת, לפי התור, למשבצת ריקה שנמצאת לידה בכיוון אופקי או אנכי.
האם יתכן שבזכות המהלכים האלה כל מצב אפשרי עבור שני דמקות יופיע פעם אחד בדיוק?
ב. (4 נקודות) האם תשתנה התשובה, אם מותר להזיז דמקות בסדר כלשהו, לאו דבקה לפי התור?
א. ו. שפובלוב
פתרון

6. (7 נקודות) גבהי המשולש ABC הם AHA , BHB , CHC.
הוכח כי משולש שקודקודיו הן נקודות חיתוך הגבהים של משולשים AHBHC , BHAHC , CHAHB שווה למשולש HAHBHC.
א. ו. אקופיאן
פתרון

7. אלון בחר מספר דו-ספרתי (מ-10 עד 99). צביקה מנסה לנחש אותו, כאשר הוא אומר בכל רם מספרים דו-ספרתיים.
אם צביקה אומר את המספר הנכון, או שהוא אומר ספרה מסוימת נכון, ובספרה אחרת טועה ב-1, אז אלון אומר לו "חם". אחרת הוא אומר לו "קר".
למשל אם אלון בחר 65, אז צביקה יקבל תשובה "חם" רק אם יגיד 65, 64, 66, 55, או 75, ועבור כל מספר אחר יקבל תשובה "קר".
א. (2 נקודות) הוכח שאין לאלון דרך לגלות מספר בוודאות אחרי 18 ניסיונות.
ב. (3 נקודות) מצא שיטה שתאפשר לצביקה לנחש את המספר של אלון ב-24 ניסיונות.
ג. (3 נקודות) האם מספיק 22 ניסיונות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מצא לפחות פולינום אחד (P(x מדרגה 2001 כזה,
שלכל х מתקיים השוויון P(x) + P(1–x) = 1.
פתרון

2. (5 נקודות) בסיכום של שנת הלימודים התברר, שבכל חבורה של 5 תלמידים לפחות 80% מהכשלים שהתקבלו בחבורה זו שייכים לקבוצה של לא יותר מאשר 20% מהתלמידים בחבורה זו. הוכח כי ¾ מהנכשלים בבית הספר שייכים לתלמיד אחד.
מ. נ. ויאלי
פתרון

3. (5 נקודות) גבהי המשולש ABC הם AHA , BHB , CHC.
הוכח כי משולש שקודקודיו הן נקודות חיתוך הגבהים של משולשים AHBHC , BHAHC , CHAHB שווה למשולש HAHBHC.
א. ו. אקופיאן
פתרון

4. (5 נקודות) נתונות שתי טבלאות, A ו-B. בכל טבלא m שורות, n עמודות. בכל משבצות של כל טבלא רשום 0 או 1. נתון שבשורות של טבלאות המספרים לא יורדים (כאשר קוראים משמאל לימין) ובעמודות המספרים לא יורדים (כאשר קוראים מלמעלה למעטה). בנוסף נתון שבתי הטבלאות אותה כמות של אפסים, ושעבור כל k מ-1 עד m סכום המספרים ב-k שורות עליונות של A גדול או שווה לסכום המספרים ב-k שורות עליונות של B.
הוכח כי סכום המספרים ב-j עמודות שמאליות של A קטן או שווה לסכום המספרים ב-j עמודות שמאליות של B, עבור כל j מ-1 עד n.
א. י. קאנל-בלוב
פתרון

5. (כל סעיף 4 נקודות) בתחרות שחמט כל שניים שיחקו משחק אחד. לכל שחקן מחשבים את כמות הנקודות שהוא צבר (נקודה אחת עבור ניצחון, ½ נקודה עבור תיקו, 0 נקודות עבור הפסד).
א. האם יתכן שעבור כל שחקן סכום הנקודות של השחקנים שאותם הוא ניצח גדול מסכום הנקודות של השחקנים שניצחו אותו?
ב. האם יתכן שעבור כל שחקן סכום הנקודות של השחקנים שאותם הוא ניצח קטן מסכום הנקודות של השחקנים שניצחו אותו?
א. ק. טולפיגו
פתרון

6. (8 נקודות) הוכח שקיימים 2001 פאונים קמורים במרחב, כך שלאף שלושה אין נקודה משותפת, וכל שניים משיקים (כלומר יש להם נקודת גבול משותפת, אבל אין להם נקודות פנימיות משותפות).
א. י. קאנל-בלוב
פתרון

7. (כל סעיף 4 נקודות) במעגל עומדים קופסאות. בכל קופסה יש מספר כדורים (יכול להיות גם 0 אן 1). בכל מהלך מוציאים את כל הכדורים מקופסא מסוימת ומכניסים אותם לקופסאות, כדור אחד בקופסא, כאשר עוברים על הקופסאות לפי כיוון השעון, ומתחילים בקופסה הבאה אחרי הקופסא שממנה נלקחו הכדורים. (כל הכדורים זהים לחלוטין).
א. נניח שבכל מהלך (חוץ מהראשון) מותר לקחת רק כדורים מהקופסא שאליה הכניסו את הכדור האחרון הוכח כי ברגע מסוים הסידור ההתחלתי של הכדורים יחזור על עצמו.
ב. נניח שעכשיו מותר לקחת כדורים מכל קופסא שרוצים. האם אפשרי להעביר כל מצב לכל מצב אחר?
ו. מ. גורוביץ
פתרון