תחרות מס': 22


שנת לימוד: 2000-2001



סתיו


כיתות ט'-י'


1)נתונה טבלה בגודל 4X4. בתוך כל משבצת רשום מספר כך שסכום השכנים של כל מספר שווה ל-1 (שני מספרים הם שכנים אם הם נמצאים בזוג משבצות בעלי צלע משותפת). מצאו את סכום כל המספרים בטבלה.

ר.ג.ג'נדרוב
פתרון

2) נתון מלבן ABCD. M היא אמצע הצלע CD. נעביר אנך BH מנקודה B לישר AM. הוכיחו כי המשולש BCH שווה שוקיים.
מ.א.ולקצ'קויץ'
פתרון

3)(א) על לוח רשומים 100 מספרים שונים. הוכיחו, כי ניתן לבחור מתוכם 8 מספרים, כך שהממוצע החשבוני שלהם שונה מהממוצע החשבוני של כל 9 מספרים הרשומים על הלוח.
(ב) על הלוח רשומים 100 מספרים שלמים. ידוע, שעבור כל 8 מספרים יימצאו 9 מספרים כך שהממוצע החשבוני של ה-8 הנ"ל שווים לממוצע החשבוני של 9 המספרים הללו. הוכיחו, שכל המספרים הרשומים על הלוח שווים זה לזה.
א.ו.שאפובאלוב
פתרון

4)ידוע, שבערימה של 32 מטבעות בעלי מראה זהה לחלוטין יש שני מטבעות מזויפים עם משקל שונה ממשקל מטבע אמיתית (המטבעות המזויפים שווים במשקלם וגם המטבעות האמיתיים שווים במשקלם). איך לחלק את ערימת המטבעות לשתי ערימות בעלות אותו משקל, באמצעות 4 שקילות של משקל מאזניים בלבד (ללא משקולות)?
א.ו.שאפובאלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) משולש ABC חסום במעגל. מנקודה A מעבירים שני מיתרים החותכים את הקטע BC בנקודות K ו L ואת הקשת בנקודות M ו N. הוכיחו שאם ניתן לחסום את המרובע KLNM במעגל, אז המשולש ABC – שווה שוקיים.
ו.ס.ג'גון
פתרון

2) נותנים מספרים a, b, c, d טבעיים שמקיימים ad-bc>1. הוכיחו שלפחות אחד מהמספרים a, b, c, d לא מתחלק ב- ad-bc.
א.ו.ספיואק
פתרון

3)בכל פאה צדדית של מנסרה מחומשת יש זווית f (בין הזוויות של פאה זאת). מצא את כל הערכים האפשריים של f.
פתרון


א.ו.שאפובאלוב
4)ידוע, שבערימה של
א) 32
ב) 22
מטבעות בעלי מראה זהה לחלוטין יש שני מטבעות מזויפים עם משקל שונה ממשקל מטבע אמיתית (המטבעות המזויפים שווים במשקלם וגם המטבעות האמיתיים שווים במשקלם). איך לחלק את ערימת המטבעות לשתי ערימות בעלות אותו משקל, באמצעות 4 שקילות של משקל מאזניים בלבד (ללא משקולות)?
א.ו.שאפובאלוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) מספר טבעי n ניתן להחליף במספר ab אם a+b=n וגם a,b מספרים טבעיים. האם ניתן באמצעות החלפות כאלו לקבל מהמספר 22 את 2001?
ו.א.קלפצן
פתרון

2)במשולש אחד מקטעי האמצעים ארוך יותר מאחד התיכונים. הוכיחו שמשולש זה קהה זווית.
א.ו.שאפובאלוב
פתרון

3) לחנות הגיעו 20 ק"ג גבינה שוויצרית, ותוך זמן קצר התאסף תור ארוך של אנשים הרוצים לקנות את הגבינה. אחרי כל מכירה לקונה, המוכרת מחשבת במחשבון את המשקל הממוצע של קנייה לפי הקניות שנעשו עד אותו רגע (משקל הגבינה שנמכרה עד כה חלקי מספר הקונים) ומודיעה בקול רם לעוד כמה אנשים תספיק הגבינה אם כל אחד יקנה לפי משקל ממוצע זה. האם ייתכן כי המוכרת הודיעה אחרי כל אחד מעשרת הקונים הראשונים שהגבינה שנשארה תספיק לעוד 10 קונים? אם כן, כמה גבינה נשארה בחנות אחרי 10 קונים?
י.ג.ריבניקוב
פתרון

4) (א) על השולחן יש 5 משולשי נייר זהים זה לזה. כל אחד מהם ניתן להזיז לכל כיוון מבלי לסובב. האם נכון, שתמיד אפשר באופן כזה לכסות כל משולש באמצעות ארבעת האחרים?
(ב) על השולחן נמצאים 5 משולשי נייר שווי-צלעות באותו גודל. כל אחד מהם ניתן להזיז לכל כיוון מבלי לסובב. הוכיחו, שניתן לכסות כל אחד מהמשולשים באמצעות ארבעת האחרים.
א.ו.שאפובאלוב
פתרון

5) על לוח 15X15 משבצות הוצבו 15 צריחים שלא מאיימים אחד על השני. לאחר מכן, כל צריח עשה מהלך של פרש. הוכיחו, שכעת יש זוג צריחים שמאיימים אחד על השני.
ס.ל.ברלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) אוטובוס נוסע בדרך שאורכה 100 ק"מ. באוטובוס יש מחשב שנותן השערה לכמות הזמן שנשארה לאוטובוס להגיע ליעד. זמן זה הוא מחשב כך: הוא מחלק את הדרך שנותרה לאוטובוס במהירות הממוצעת עד כה (מהירות ממוצעת = מרחק שעברו עד כה חלקי הזמן שעבר מתחילת הנסיעה) וכך מתקבל הזמן הנותר. לאחר 40 דקות של נסיעה, המחשב הראה כי נשארה שעה אחת עד להגעת האוטובוס ליעד והוא המשיך להראות זאת במשך החמש שעות הבאות. האם זה ייתכן? אם כן, כמה ק"מ עבר אוטובוס לאחר חמש שעות אלו?
י.ג.ריבניקוב
פתרון

2)נתון שבכתיב עשרוני למספר טבעי a יש n ספרות, ול-a3 יש m ספרות. האם ייתכן כי m+n=2001?
ג.א.גאלפרין
פתרון

3) במשולש ABC הנקודה X נמצאת על הקטע AB , והנקודה Y על BC. הקטעים AY ו-CX נחתכים בנקודה Z. ידוע ש- AY=YC וגם AB=ZC. הוכיחו שהנקודות B, X, Y, Z נמצאות על מעגל אחד.
ר.ג.ז'נודארוב
פתרון

4)שניים משחקים בתורות על לוח 100X3: הם מניחים אבני דומינו 1X2 על משבצות פנויות (יש ברשותם אינסוף אבני דומינו). הראשון מניח אותם תמיד במאוזן (הצלע הגדולה של דומינו מקבילה לצלע הגדולה של הלוח) והשני במאונך. זה שלא יכול לעשות מהלך בתורו, מפסיד. לאיזה שחקן יש תמיד אפשרות לנצח וכיצד הוא צריך לשחק?
ו.ו.טרושקוב
פתרון

5) על המשטח של פירמידה משולשת שכל מקצועותיה שוות ל- 1 ס"מ (טטרהדרון משוכלל) נבחרו 9 נקודות. הוכח שיש 2 מבין הנקודות שמרחק בינם אינו עולה על 0.5 ס"מ.
ו.ו.פרויזבולוב
פתרון