תחרות מס': 21


שנת לימוד: 1999-2000



סתיו


כיתות ט'-י'


1)נתון משולש ישר זווית מנייר, בעל שטח 1. מקפלים אותו לאורך קו ישר, כך שלאחר הקיפול הקודקוד של הזווית הישרה יתלכד עם קודקוד אחר.
(א) באיזה יחס יתחלקו האלכסונים של המרובע שהתקבל?
(ב) המרובע שהתקבל נחתך על ידי אלכסון שלו, שיוצע מהקודקוד השלישי של המשולש. מצא את השטח של חלק הכי קטן מהחלקים שהתקבלו.
פתרון

2) נתבונן בכל שלישיות של מספרים a, b ו-c כך שמתקיים: a+b+c=0 . לכל שלישיה כזאת ממחשבים מספר d = a1999 + b1999 + c1999.
א.האם זה ייתכן ש- d = 2?
ב.האם זה ייתכן ש- d מספר ראשוני?
(מספר ראשוני – זה מספר שלם, גדול מ-1, שאין לו מחלקים חוץ מ-1 ועצמו. הנה מספרים ראשוניים ראשונים: 2, 3, 5, 7, 11, ... ).
פתרון

3)על מישור יש n ישרים. כל אחד מהם חותך בדיוק 1999 אחרים. מצא את n ( ציין את כל האפשרויות).
פתרון

4) באיטליה יוצרים שעונים, כך שבהם מחוג קטן עושה סיבוב אחד ביממה, ומחוג גדול – 24 סיבובים ביממה (בשעון רגיל מחוג גדול עושה 24 סיבובים ביממה, אבל מחוג קטן עושה 2 סיבובים). נתבונן בכל המצבים היחסיים של מחוגים ושנתה האפסית בשעון איטלקי, שאפשר לראות גם על שעון רגיל. כמה מצבים כאלה קיימים על שעון איטלקי במשך יממה? (שנתה האפסית מראה 24 שעות בשעון איטלקי ו-12 שעות בשעון רגיל.)
פתרון

5) יש מלבנים מקרטון בגודל 2X1. על כל מלבן מצויר אלכסון אחד. יש מלבנים משני סוגים, כי אפשר להעביר אלכסון בשני דרכים. נוסף על כך יש מספיק מלבנים מכל סוג. האם אפשר לבחור 18 מלבנים ולהרכיב מהם ריבוע 6X6 כך, שהקצוות של האלכסונים באף מקום לא התלכדו?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) הקווים שמחברים נקודת חיתוך של חוצי זוויות במשולש עם קודקודיו, מחלקים את המשולש ל-3 משולשים קטנים יותר. אחד מהם דומה למשולש המקורי. מצא את זוויות המשולש.
פתרון

2) הוכח שקיים אינסוף מספרים שלמים חיוביים אי-זוגיים n כך שמספר 2n + n פריק (מספר שלם חיובי נקרא פריק, אם יש לו מחלקים שונים מ-1 ומעצמו).
פתרון

3)במרחב נתונים n מישורים. כל אחד מהם חותך בדיוק 1999 מישורים אחרים. מצא את n. ( ציין את כל האפשרויות).
פתרון

4)האם אפשר לציין על ציר מספרים 50 קטעים ( אולי נחתכים) כך שמתקיימים שני התנאים:
א. אורכים של הקטעים – 1, 2, 3,...,50 ;
ב. קצוות של הקטעים - זה כל הנקודות שלמות מ-1 ל-100 ?
פתרון

5)יש מלבנים מקרטון בגודל 2X1. על כל מלבן מצויר אלכסון אחד. יש מלבנים משני סוגים, כי אפשר להעביר אלכסון בשני דרכים. נוסף על כך יש מספיק מלבנים מכל סוג. האם אפשר לבחור 32 מלבנים ולהרכיב מהם ריבוע 8X8 כך, שהקצוות של האלכסונים באף מקום לא התלכדו?
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) האם מכפלה של שני מספרים שלמים חיוביים עוקבים יכולה להיות שווה למכפלה של שני מספרים חיוביים זוגיים שכנים?
פתרון

2) בטרפז ABCD בעל שטח 1 בסיסים BC ו-AD הם ביחס של 1:2=BC:AD. יהי K – אמצע של אלכסון AC. ישר DK חותך את צלע AB בנקודה L. מצא שטח של מרובע BCKL.
פתרון

3) א) נתונה מנסרה, שבסיס שלה הוא מצולע בעל N3 קדקודים. הוכח שאפשר לצבוע את הקודקודים של המנסרה בשלושה צבעים, כך שכל קודקוד יהיה קשור באמצעות צלע לקודקודים של כל הצבעים.
ב) נתונה מנסרה, שבסיס שלה הוא מצולע בעל N קדקודים. הוכח כי אם אפשר לצבוע את הקדקודים של המנסרה בשלושה צבעים, כך שכל קודקוד יהיה קשור באמצעות צלע לקדקודים של כל הצבעים, אז N מתחלק ב-3.
פתרון

4) האם אפשר להציב בקודקודים של קובייה מספרים טבעיים כך, כך שבכל זוג מספרים, הקשורים על ידי צלע, אחד מהם היה מתחלק בשני, ובכל הזוגות האחרים זה לא היה מתקיים?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) אלכסונים של מרובע קמור מחלקים אותו ל-4 חלקים. התברר, שסכום השטחים של שני משולשים נגדיים (יש להם רק קודקוד משותף) שווה לסכום השטחים של שני משולשים אחרים. הוכח שאחד מהאלכסונים מחלק את השני לשני חלקים שווים.
פתרון

2)על כל אחת משתי פאות נגדיות של קובייה מצוירת נקודה, על כל אחת משתי פאות נגדיות אחרות – שתי נקודות, ועל כל אחת מצלעות אחרות – שלוש נקודות. משמונה קוביות כאלה הרכיבו קובייה 222, וחישבו סכומים על כל אחת מפאות שלו. האם היו יכולים להתקבל 6 מספרים עוקבים?
פתרון

3)הוכח אי שוויון: (1k+2k+...+nk < (n2k - (n-1)k)/(nk - (n-1)k עבור n ו-k שלמים חיביים.
פתרון

4)האם קיימת סידרה אינסופית, שמורכבת ממספרים
א.ממשיים
ב.שלמים
כך שסכום של כל 10 מספרים עוקבים חיובי, אבל סכום של כל 10n+1 איברים ראשונים של הסדרה שלילי?
פתרון