תחרות מס': 20


תשנ"ט (1998-1999)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) A, B מספרים טבעיים. הוכך כי אם   lcm(A , A+5) = lcm(B , B+5) אז A = B.
הערה.   lcm(X , Y) זו הכפולה המשותפת המינימלית של X ושל Y.
פתרון

2. (4 נקודות) גם ליוסי וגם לבלה יש ריבוע לבן 8×8, שמחולק למשבצות 1×1. כל אחד מהם צבע מספר זהה של משבצות בכחול.
הוכח שאפשר לחתוך את הריבועים האלה למלבנים של 2×1, כך שאפשר להרכיב מהמלבנים של יוסי ריבוע, ומהמלבנים של בלה ריבוע עם אותו התמונה הכחולה.
פתרון

3. (5 נקודות) קטע AB חותך שני מעגלים שווים ומקביל לקו שמחבר את מרכזיהם. כל נקודות החיתוך בין הישר AB למעגלים נמצאות בין A ל-B. דרך A מעבירים משיקים למעגל שקרוב ל-A, ודרך B מעבירים משיקים למעגל שקרוב ל-B.
מסתבר ש-4 המשיקים האלה יוצרים מרובע, המכיל בתוכו את שני המעגלים.
הוכח שהמקובע חסום.
פתרון

4. (6 נקודות) במצולע משוכלל בעל 25 קודקודים העבירו את כל האלכסונים.
הוכח, כי אין 9 אלכסונים שעוברים דרך נקודה פנימית אחת של המצולע.
פתרון

5. (7 נקודות) יש 20 כדורים ב-10 צבעים שונים, 2 כדורים בכל צבע. חילקו אותם בצורה מסוימת ל-10 קופסאות. נתון כי אפשר לבחור כדור מכל קופסא, כך שיהיה נציג לכל צבע.
הוכח, שכמות הדרכים לעשות בחירה כזאת היא K2 , כאשר K<0 מספר טבעי.
פתרון

6. (7 נקודות) כנופיית פושעים שדדה שק של מטבעות משוכר עשיר. כל מטבע שווה מספר שלם של גרושים.
מסתבר, שאם מניחים מטבע כלשהו בצד, אז אפשר לחלק את הכסף באופן שווה בין הפושעים.
הוכח שאם מניחים מטבע בצד, אז כמות המטבעות מתחלקת בכמות הפושעים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

הוכך כי אם   lcm(A , A+5) = lcm(B , B+5) אז A = B.
הערה.   lcm(X , Y) זו הכפולה המשותפת המינימלית של X ושל Y.
1. א. (2 נקודות) A, B מספרים טבעיים. הוכך כי אם   lcm(A , A+5) = lcm(B , B+5) אז A = B.
ב. (3 נקודות) האם יתכן כי   lcm(A , B) = lcm(A+C , B+C) , כאשר  A,B,C מספרים טבעיים?
הערה.   lcm(X , Y) זו הכפולה המשותפת המינימלית של X ושל Y.
פתרון

2. (4 נקודות) קטע AB חותך שני מעגלים שווים ומקביל לקו שמחבר את מרכזיהם. כל נקודות החיתוך בין הישר AB למעגלים נמצאות בין A ל-B. דרך A מעבירים משיקים למעגל שקרוב ל-A, ודרך B מעבירים משיקים למעגל שקרוב ל-B.
מסתבר ש-4 המשיקים האלה יוצרים מרובע, המכיל בתוכו את שני המעגלים.
הוכח שהמקובע חסום.
פתרון

3. (5 נקודות) בטבלא רשומים 9 מספרים
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
ידוע ששישה מספרים – סכומים בשורות ובעמודות – שווים זה לזה:
a1+a2+a3 = b1+b2+b3 = c1+c2+c3 = a1+b1+c1 = a2+b2+c2 = a3+b3+c3 .
הוכח שסכום המכפלות בשורות של טבלא שווה לסכום המכפלות בעמודות:
a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3 = a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3 .
פתרון

4. (6 נקודות) מסביב לשולחן עגול יש 12 מקומות לחברי הועדה. ליד כל מקום רשום שם של מי שאמור לשבת במקום זה. ניקולאי ניקולאיביץ', שהגיע ראשון, בטעות התיישב לא במקום שלו, אלה במקום הבא לפי כיוון השעון. כל חבר הועדה, שהגיע אחרי זה, ניגש למקומו, והתיישב בכיסה שלו אם הכיסה היה פנוי, ואם לא, אז הוא עבר משם לפי כיוון השעון עד למקום הפנוי הראשון.
סדר הישיבה של חברי הועדה תלוי בסדר הגעתם לישיבה.
בכמה דרכים שונות הם יכולים להתיישב?
פתרון

5. (7 נקודות) עבור תיבה כלשהי נגיד שהגודל שלה זה סכום של 3 מימדיה: אורך ועוד רוחב ועוד גובה.
האם יתכן שתיבה מסוימת נמצאת בתוך תיבה בעלת גודל קטן יותר?
פתרון

6. (8 נקודות) נתונה פונקציה   f(x) = (x2 + ax + b)/(x2 + cx + d) ,
כאשר לטרינומים   x2 + ax + b , x2 + cx + d אין שורשים משותפים.
הוכח ששני הטענות הבאות שקולות:
א. יש קטע בציר המספרים שלא מכיל ערכי פונקציה.
ב.   f(x) ניתנת להצגה בתור   f(x)=f1(f2(...fn-1(fn(x))...)) ,
כאשר כל   fi(x) היא פונקציה מסוג   kix+bi או   x-1 או   x2 .
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'

1. (3 נקודות) בחשבון בנק 500 ₪. יש שני פעולות שמותר לעשות: להוציא 300 ₪ או להפקיד 198 ₪. על הפעולות הללו אפשר לחזור מספר פעמים, אבל אין כסף נוסף מלבד הכסף שנמצא בהתחלה בבנק.
איזה סכום מירבי אפשר להוציא מהבנק?
פתרון

2. (4 נקודות) O היא נקודת חיתוך האלכסונים של מקבילית ABCD.
הוכח, שאם מעגל שעובר דרך נקודות A, B, O משיק לישר BC, אז מעגל שעובר דרך נקודות B, C, O משיק לישר CD.
פתרון

3. (4 נקודות) שניים משחקים. הראשון רושם משורה, משמאל לימין ספרות 0 ו-1 בסדר כלשהו, עד שלא יתקבלו 1999 ספרות. כל פעם אחרי שהראשון רושם ספרה מסוימת, השני מחליף מקומות בין שני ספרות שכבר רשומות (כאשר יש רק ספרה אחת, השני מדלג על המהלך).
האם השני יכול לדאוג לכך, שאחרי מהלכו האחרון מיקום הספרות יהיה סימטרי יחסית לספרה המרכזית?
פתרון

4. (6 נקודות) 2N רדיוסים מחלקים את המעגל לגזרות שוות: N כחולות ו-N אדומות.
בגזרות הכחולות, החל מגזרה מסוימת, רושמים מספרים מ-1 עד N נגד כיוון השעון.
בגזרות האדומות, החל מגזרה מסוימת, רושמים את אותם המספרים אבל עם כיוון השעון.
הוכח שיש חצי עיגול, שבו רשומים כל המספרים מ-1 עד N.
פתרון

5. (6 נקודות) מעגל חסום של משולש ABC משיק לצלעותיו AB, AC בנקודות P, Q.
RS קטע האמצעים של המשולש שמקביל ל-AB, ונסמן ב-T נקודת חיתוך הישרים PQ ו-RS.
הוכח כי T נמצאת על חוצה הזווית B של המשולש.
פתרון

6. (9 נקודות) צריח, שעושה מהלכים למשבצת סמוכה במאונך או במאוזן, ב-64 מהלכים עבר על כל המשבצות של לוח שח 8×8 וחזר למשבצת התחלתית.
הוכח שכמות המהלכים האופקיים שונה מכמות המהלכים האנכיים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) בים צף פאון קמור.
האם יתכן כי 90% מנפחו מתחת לפני הים, אבל יותר ממחצית שטח פניו מעל פני הים?
פתרון

2. (4 נקודות) מרובע קמור ABCD חסום במעגל שמרכזו ב-O.
המעגלים שחוסמים משולשים ABO, CDO נחתכים שנית בנקודה F.
הוכח כי מעגל שעובר דרך נקודות A,F,D עובר גם דרך נקודת חיתוך של AC, BD.
פתרון

3. (5 נקודות) מצא את כל זוגות השלמים (x,y), שעבורם גם x3+y וגם y3+x מתחלקים ב- x2+y2 .
פתרון

4. (5 נקודות) 2N רדיוסים מחלקים את המעגל לגזרות שוות: N כחולות ו-N אדומות.
בגזרות הכחולות, החל מגזרה מסוימת, רושמים מספרים מ-1 עד N נגד כיוון השעון.
בגזרות האדומות, החל מגזרה מסוימת, רושמים את אותם המספרים אבל עם כיוון השעון.
הוכח שיש חצי עיגול, שבו רשומים כל המספרים מ-1 עד N.
פתרון

5. עבור כל מספר שלם אי-שלילי K נגדיר  M(K) כך: נרשום K ברישום בינארי, ואם כמות האחדים ברישום זוגי, אז  M(K)=0 , אחרת  M(K)=1 .
האיברים הראשונים של הסדרה:  0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... .
א. (2 נקודות) ניקח סדרה סופית  M(0), M(1), M(2), ... , M(1000) .
הוכח, שכמות איברי הסדרה ששווים לשכן שלהם מימין, היא לפחות 320.
ב. (5 נקודות) ניקח סדרה סופית  M(0), M(1), ... , M(1000000) .
הוכח, שכמות איברי הסדרה כאלה ש  M(K) = M(K+7) , היא לפחות 450000.
פתרון

6. (8 נקודות) צריח, שעושה מהלכים למשבצת סמוכה במאונך או במאוזן, ב-64 מהלכים עבר על כל המשבצות של לוח שח 8×8 וחזר למשבצת התחלתית.
הוכח שכמות המהלכים האופקיים שונה מכמות המהלכים האנכיים.
פתרון