תחרות מס': 20


שנת לימוד: 1998-1999



סתיו


כיתות ט'-י'


1)קוביה עם צלע 20 נחתכה ל-8000 קוביות עם צלע 1, ובכל קובייה קטנה כתוב מספר. ידוע שבכל עמודה מ-20 קוביות שמקבילה לצלע של הקובייה הגדולה, סכום שווה ל-1 (מתבוננים בעמודות של כל שלושה הכיוונים). בקובייה מסוימת כתוב מספר 10. דרך הקובייה הזאת עוברים שלוש שכבות 1X20X20, שמקבילות לצלעות של הקובייה הגדולה. מצא סכום של כל המספרים מחוץ לשכבות האלה.
פתרון

2) שתי ספרות אחרונות של ריבוע של מספר שלם הן 09... . הוכח שספרה שלישית מימין היא זוגית.
פתרון

3)במשולש ABC נקודות C’ ,B’ ,A’ נמצאות על הצלעות AB ,AC, BC בהתאמה. נתון: AC’B’=B’A’C , CB’A’=A’C’B , BA’C’=C’B’A . הוכח ש- C’ ,B’ ,A’ אמצעי הצלעות.
פתרון

4) 12 מועמדים לראש העיר מספרים על עצמם. בעוד זמן מסוים אחד מהם אמר: "לפניי שיקרו פעם אחד". השני אמר: " ועכשיו – פעמיים". אז המועמד השלישי אמר: "ועכשיו – שלושה פעמים", וככה הלה עד המועמד ה-12, שאמר: "לפניי שיקרו 12 פעמים". אז המנחה הפסיק את הויכוח. התברר אחר כך, שלפחות מועמד אחר ספר נכון. אז כמה פעמים סך הכל שיקרו המועמדים?
פתרון

5) נקרא תנין לכלי שחמט שמהלכו היא קפיצה ל-m משבצות בכיוון אופקי או אנכי ואחר כך ל-n ממשבצות בכיוון המאונך. הוכח שלכל m ו-n אפשר לצבוע מישור משובץ אינסופי בשני צבעים כך שתמיד שתי משבצות, קשורות במהלך של תנין, יהיו בצבעים שונים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) יש 19 משקולות עם מסות 1, 2, 3, .....19 גרם. תשע מהן מברזל, תשע מארד ואחת מזהב. ידוע שמסה משותפת של כל המשקולות מברזל יותר גדולה ב-90 גרם ממסה משותפת של כל המשקולות מארד. מצא מסה של משקולת מזהב.
פתרון

2) N עיגולי נייר מונחים על המישור. המעגלים, שהם השפות של המעגלים, כולם עוברים דרך נקודה O. נקודה O מהווה נקודה פנימית עבור התחום המכוסה על ידי נייר (היא לא על השפה של התחום). התחום הזה בעצמו מהווה מצולע שצלעותיו עקומות. מצא את ההיקף של תחום זה.
פתרון

3)על לוח שחמט 8X8 הדגישו 17 משבצות כלשהן. הוכח, שיש ביניהן שתיים, כך שפרש צריך לפחות 3 מהלכים כדי להגיע ממשבצת אחת לשנייה.
פתרון

4) נתבונן בכל הקבוצות {x1, x2, x3, ... x20} של מספרים ממשיים בין 0 ל-1, כך ש- (x1x2x3...x20 = (1-x1) (1-x2) (1-x3)... (1-x20. מצא בין הקבוצות האלה קבוצה כזאת, שבשבילה x1x2x3...x20 מקסימלי.
פתרון

5) בשלוש מדינות A, B ו-C העבירו מבחן ל-IQ. רייטינג של המדינה זה ממוצע חשבוני של IQ של כל התושבים שלה.
א.קבוצת אנשים ממדינה A עברו למדינה B. הוכח שכתוצאה מכך רייטינג ים של שתי המדינות היו יכולים לעלות.
ב.אחרי זה קבוצת אנשים מ-B עברו ל-A (ביניהם יכולים להיות גם אלה, שקודם הגיעו מ-A). האם רייטינג ים של שני המדינות האלה היו יכולים לעלות שוב?
ג.קבוצת אנשים מ-A עברו ל-B, ובו-זמני קבוצת אנשים מ-B עברו ל-C. כתוצאה מכך, רייטינג ים של שלושת המדינות עלו. אחרי זה כיוון ההגירה השתנה להפוך: חלק מתושבי B עברו ל-A, וחלק תושבי C עברו ל-B. הסתבר, שאחרי זה רייטינג ים שלכל המדינות שוב עלו ( ככה, בכל מקרה, טוענים שירותי מידע של המדינות האלה). האם זה יכול להיות ( אם כן, אז איך, אם לא, אז למה) ?
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) אב ובן רצים על מחלקיים במעגל. לפעמים אב עוקב את בן. אחרי שבן החליף את כיוון של תנועתו להפוך, הם התחילו להיפגש לעתים קרובות יותר פי 5. פי כמה אב רץ יותר מהר מבן?
פתרון

2) על היתר AB של משולש ישר זווית ABC כלפי חוץ בנו ריבוע ABDE. נתון: AC=1,BC=3. באיזה יחס חוצה זווית של C מחלק את צלע DE ?
פתרון

3) על הלוח כתובים כמה מספרים טבעיים a0, a1, a2,..., an. נכתוב על הלוח השני את המספרים הבאים: b0 – כמות המספרים על הלוח שראשון, b1 – כמות המספרים הגדולים מ-1 על הלוח הראשון מספרים, b2 כמות המספרים הגדולים מ-2, וככה הלאה, כל עוד שמתקבלים מספרים חיוביים (אפסים לא כותבים). על הלוח השלישי נכתוב מספרים c0, c1, c2,...,cn הבנויים לפי מספרים של הלוח השני לפי אותו עקרון, שלפיו בנינו מספרים של הלוח השני מהמספרים של הלוח הראשון. הוכיחו, שאוספים של מספרים על לוח ראשון ושלישי מתלכדים.
פתרון

4) על מישור מצויר משולש שווה צלעות שחור. יש 9 לוחיות משולשיות באותה צורה ובאותו גודל. צריך לשים אותן על המישור כך שהן לא יסתירו אחת את השנייה ושכל לוחית תכסה לפחות חלק של המשולש השחור (לפחות את נקודה אחת בתוכו). איך לעשות את זה?
פתרון

5) ריבוע נחתך ל- 100 מלבנים באמצעות 18 קוים ישרים. 9 מהם מקבילים לצלע אחד של הריבוע ו- 9 אחרים מקבילים לצלע השני. בדיוק 9 מ- 100 מלבנים הם ריבועים. הוכח, ששניים מהריבועים האלה שווים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) בשורה עומדים 1999 מספרים. המספר הראשון שווה ל-1. ידוע שכל מספר חוץ מראשון ואחרון, שווה לסכום של שני שכניו. מצא את המספר האחרון.
פתרון

2)על היתר AB של משולש ישר זווית ABC כלפי חוץ בנו ריבוע ABDE. נתון: AC=1 , BC=3 . באיזה יחס חוצה זווית של C מחלק את צלע DE ?
פתרון

3) על הלוח כתובים כמה מספרים טבעיים a0, a1, a2,..., an. נכתוב על הלוח השני את המספרים הבאים: b0 – כמות המספרים על הלוח שראשון, b1 – כמות המספרים הגדולים מ-1 על הלוח הראשון מספרים, b2 כמות המספרים הגדולים מ-2, וככה הלאה, כל עוד שמתקבלים מספרים חיוביים (אפסים לא כותבים). על הלוח השלישי נכתוב מספרים c0, c1, c2,...,cn הבנויים לפי מספרים של הלוח השני לפי אותו עקרון, שלפיו בנינו מספרים של הלוח השני מהמספרים של הלוח הראשון. הוכיחו, שאוספים של מספרים על לוח ראשון ושלישי מתלכדים.
פתרון

4)על מישור מצויר ריבוע שחור. יש 7 לוחיות ריבועיות באותו גודל. יש לשים אותן על המישור כך שהן לא יסתירו אחת את השנייה ושכל לוחית תכסה לפחות חלק של הריבוע השחור (לפחות את נקודה אחת בתוכו). איך לעשות את זה?
פתרון

5) המשחק מתרחש על ריבוע מנייר משובץ 9X9. יש שני שחקנים,עושים הליכות לפי תור. הראשון שם במשבצות הפנויות X-ים, והיריב שלו – אפסים. כאשר כל המשבצות מלאות, מחשבים מספר שורות ועמודות שבהן יש יותר X-ים מהאפסים – מספר A, ומספר עמודות ושורות שבהן מספר אפסים יותר ממספר X-ים – מספר B ( סך הכול יש 18 שורות ועמודות). ההפרש H=A-B זה הזכייה של השחקן הראשון. מצא ערך כזה של H כך ש:
א.השחקן ראשון יכול להבטיח לעצמו זכייה לפחות H, לא חשוב איך ישחק השחקן השני.
ב.השחקן השני תמיד יכול לעשות כך, שהראשון יקבל זכייה לא יותר מ-H, לא חשוב איך הוא ישחק.
פתרון