תחרות מס': 1


אביב תש"מ (1980)



1. על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
ק. קזרנובסקי
פתרון

2. טבלה N×N ממולאת במספרים כך שכל השורות נבדלות (לפחות במקום אחד). הוכח/י כי אפשר למחוק עמודה כלשהי כך שבטבלה שתישאר גם כל השורות יהיו שונות.
א. אנג'אנס
פתרון

3. a1, a2, ..., a101 הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש ai מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.
פתרון

4. במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות.
א. טולפיגו
פתרון

5. נתון מרובע קמור ABCD. כל צלע שלו מחולקת ל K חלקים שווים. נקודות על צלע AB מחוברות עם נקודות מתאימות על CD ונקודות על BC עם נקודות על DA כך שנוצרים K2 מרובעים קטנים. מהם בוחרים K מרובעים כך שכל 2 מרובעים מופרדים בלפחות קו אחד שמחבר AB ו- CD וקו אחד שמחבר BC עם DA. הוכח כי סכום השטחים של מרובעים אלה הוא SABCD/K.
א. אנג'אנס
פתרון

6. בריבוע עם צלע 1 העבירו מספר סופי של קטעים מקבילים לצלעות הריבוע עם אורך כולל 18 (הם יכולים להיחתך). הוכח כי בין החלקים שהריבוע מתחלק להם ע"י הקטעים יש חלק עם שטח 0.01 לפחות.
א. אנג'אנס, א. ברזינש
פתרון