תחרות מס': 19


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) כאשר המדרגות הנעות עצורות, מהירות הירידה של בן אדם גבוה יותר ממהירות העלייה שלו. מה ייקח לאותו בן אדם יותר זמן: לעלות ולרדת במדרגות נעות שעולות במהירות מסוימת, או לעלות ולרדת במדרגות נעות שיורדות באותה מהירות?
פתרון

2) הוכח שלמשוואה x 2+y 2-z 2=1997 יש אין סוף פתרונות במספרים שלמים.
נ.וסילייב
פתרון

3) בריבוע ABCD הנקודות K ו- M נימצאות על הצלעות BC ו CD בהתאמה כאשר AM הוא חוצה זווית של הזווית KAD / צ"ל: אורך הקטע AK שווה לסכום אורכם של DM ו BK.
פתרון

4) א) כמה ישרים צריך בשביל לחתוך את כל המשבצות של ריבוע 3x3? (בשביל שיישר יחתוך את הריבוע צריך שיעבור בנקודה הפנימית שלו.) צייר את הדוגמה המינימאלית והוכח שהיא אכן מינימאלית.
ב) אותה שאלה עבור ריבוע 4x4
מ.ויאליי
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) א) כמה ישרים צריך בשביל לחתוך את כל המשבצות של ריבוע 3x3? (בשביל שיישר יחתוך את הריבוע צריך שיעבור בנקודה הפנימית שלו.) צייר את הדוגמה המינימאלית והוכח שהיא אכן מינימאלית.
ב) אותה שאלה עבור ריבוע 4x4
מ.ויאליי
פתרון

2) a,b צלעות נתונות של משולש. איך למצוא c כך שנקודות ההשקה של המעגל החסום והמעגל החיצוני של המשולש עם צלע יחלקו אותה לשלוש חלקים שווים? עבור אליו a,b קיימת צלע כזו? תשובה: a,b שונים ויחס בין הגדול לקטן מהם קטן מ-2.
פתרון

3) הוכח שלמשוואה: xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=6 יש אין סוף פתרונות במיספרים שלמים.
נ.וסילייב
פתרון

4) על לוח שח-מט בגודל 5x5 סידרו כמות מקסימאלית של פרשים כך שכל אחד מהם לא מאיים על אחר. הוכח שיש רק סידור אחד כזה.
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) אניה בוריס ווסיה משחקים במשחק הרכבת מילים. הכי הרבה מילים צברה אניה הכי מעט וסיה. אחר כך הם חישבו נקודות: עבור מילה שהיתה לשני שחקנים נקודה אחת עבור מילה שהייתה לשחקן אחד שני נקודות ומילה שחזרה על עצמה שלוש פעמים נמחקה. האם יתכן שהכי הרבה נקודות צבר וסיה והכי מעט צברה אניה?
א.ו.שפובלוב
פתרון

2) מלך שחמט עבר על כל המשבצות של לוח שחמט 8x8 פעם אחת בידיוק וחזר במהלכו האחרון לנקודת המוצא. הוכח שהוא עשה כמות זוגית של מהלכים באלכסון.
ו.פרואיזולוב
פתרון

3)AB ו-CD קטעים שנמצאים על צלעות של זווית (O- קודקוד הזווית, A נמצא בין O ל-B, C נמצא בין O ל-D). דרך אמצעי הקטעים AD ו-BC העבירו ישר שחותך את צלעות הריבוע בנקודות M ו-N (כאשר M, A, B נמצאות על צד אחד של זווית, ו-N, C, D על צד אחר). הוכח כי CD/AB=ON/OM.
ו.סינדרייב
פתרון

4) לכל מספר תלת סיפרתי ניכח את מכפלת ספרותיו, מצא את סכום כל המיספרים שהתקבלו בדרך זו.
ג.גלפרין
פתרון

4)(גירסה זו ניתנה בעיר קירב) יוסי פתר את המשוואה שמצידה האחד רב איבר מדרגה שלוש בעל מקדמים שלמים ומצידה השני 0. הוא קיבל שאחד מהשורשים הוא הוא 1/7.חברו ראה רק חלק מרב האיבר: 19x3+982 ואמר מיד שיוסי טעה בחישוב. הסבר את טענתו של חברו של יוסי.
י.ס.רובנוב
פתרון

5) הברון טוען שהצליח לחתוך משולש שווה שוקים כלשהו לשלוש משולשים כך, שאפשר להרכיב מכל שני משולשים משולש שווה צלעות חדש. האם הברון משקר?
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) הברון טוען שהצליח להרכיב מלבן כלשהו ממשולשים דומים לא ישרי זווית, האם אפשר להאמין לו? (בין הדומים יכולים להיות גם שווים)
א.פדוטוב
פתרון

2) לכל מספר ארבע סיפרתי ניכח את מכפלת ספרותיו, מצא את סכום כל המיספרים שהתקבלו בדרך זו.
ג.גלפרין
פתרון

3) מהו מספר מקסימאלי של צבעים שאפשר לצבוע בו לוח שח-מט בגודל כך שלכל משבצת יהיו לפחות שתי שכנות בצבע שלה.
א.ו.שפובלוב
פתרון

4) המיספרים החיוביים A,B,C,D כאלו שלמערכת המשוואות:
x 2 + y 2 = A
|x| + |y| = B
יש פתרונות ולמערכת המשוואות:
x2 + y2 + z2 = A
|x| + |y| + |z| = B
יש פתרונות. נתון: m>n>1. מצא את המיספרים m וn.
ג.גלפרין
פתרון