תחרות מס': 18


תשנ"ז (1996-1997)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) האם אפשר לצייר 4 נקודות לבנות ו-4 נקודות כחולות על משטח כך שלכל 3 נקודות באותו צבע יש נקודה בצבע אחר כך ש-4 נקודות הנ"ל הן קדקודים של מקבילית?
נ. ואסילייב
פתרון

2. (כל סעיף 2 נקודות) האם קיימים 3 מספרים ראשוניים שונים p,q,r כאלו ש:
p2 + d מתחלק ב- qr,
q2 + d מתחלק ב- rp,
r2 + d מתחלק ב- pq,
כאשר:
א) d=10
ב) d = 11 ?
ו. סנדרוב
פתרון

3. (5 נקודות) הוכח אי שוויון
 2    7   14    23            k2-2            9998      
-- + -- + --- + --- + ... + ------- + ... + ------- < 3
2!   3!   4!     5!               k!              100!      

ו. סנדרוב
פתרון

4. א. (2 נקודות) ריבוע נחתך למשולשים ישרי-זווית שווים עם ניצבים שאורכם 3 ו-4 (בכל אחד מהמשולשים) .
הוכח כי מספר המשולשים הוא זוגי.
ב. (4 נקודות) מלבן נחתך למשולשים ישרי-זווית שווים עם ניצבים שאורכם 1 ו-2 (בכל אחד מהמשולשים) .
הוכח כי מספר המשולשים הוא זוגי.
א. שפובלוב
פתרון

5. (8 נקודות) האם קיים מספר 6-ספרתי A כך שמתוך המספרים A, 2A, ..., 500000·A אין אף מספר שמסתיים בשש ספרות זהות?
ס. טוקרב
פתרון

6. (כל סעיף 5 נקודות) כרטיס של מתלוטו מהווה טבלה בגודל 6×6 משבצות.
השחקן מסמן 6 משבצות ושולח את הכרטיס להגרלה.
לאחר מכן בעיתון מתפרסמים 6 מספרים מפסידים.
הוכח:
א. אפשר למלא 9 כרטיסים, כך שבינהם בטוח יהיה כרטיס "זוכה", כלומר כרטיס שבו לא מסומנת משבצת מפסידה.
ב. 8 כרטיסים לא מספיקים למטרה זו.
ס. טוקרב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם אפשר לצבוע 4 קדקודים של קוביה בצבע כחול ו-4 אחרות בצבע לבן כך שכל משטח העובר דרך 3 נקודות הצבועות באותו צבע יכיל גם נקודה שצבועה בצבע אחר.
א. מוביוס, א. שריגין
פתרון

2. (כל סעיף 3 נקודות) א. הוכח את האי שוויון לכל n>2
2       2    7   14    23            k2-2            9998      
3 - ------ < -- + -- + --- + --- + ... + ------- + ... + ------- < 3
(n-2)!   2!   3!   4!     5!               k!              100!      


ב. מצא שלושה מספרים טבעיים a,b,c כך שלכל n>2 מתקיים האי שוויון
c        23-a    33-a     43-a    53-a            n3-a       
b - -------- < ------ + ------ + ------ + ------ + ... + ------- < b
(n-2)!       2!        3!        4!        5!                n!        

ו. סנדרוב, נ. ואסילייב
פתרון

3. (5 נקודות) A', B', C', D', E', F'   – אמצעי הצלעות AB, BC, CD, DE, EF, FA של משושה כלשהו.
נתונות שטחי המשולשים ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'   .
מצא שטח של המשושה ABCDEF.
א. לופשיץ , נ. ואסילייב
פתרון

4. (10 נקודות) הוכח, שלא קיימת פונקציה (אפילו פונקציה לא רציפה)   y = f(x) שמקיימת   f(f(x)) = x2 – 1996 לכל x.
ס. בוגטיי, מ. סמורוב
פתרון

5. א. (4 נקודות) 4 נמלים 1,2,3,4 ממוקמים (בסדר זה) על ההיקף של אי בצורת מעגל. הם מחוברים ע"י מערכת כבישים שטוחה (ללא גשרים), שבה יכולים להיות צמתים, כלומר נקודות בהן הכבישים מצטלבים, מתפצלים או מתמזגים. כל הכבישים הם חד צדדים כך שאם לנסוע מנמל או צומת כלשהם לא ניתן לחזור אליהם שוב.
יהי fij מספר הדרכים השונות בהן נתן להגיעה מנמל i לנמל j.
הוכח שמתקיים f14·f23 ≥ f13·f24.
ב. (6 נקודות) הוכח שאם יש 6 נמלים: 1,2,3,4,5,6 (בסדר זה), אז
f16·f25·f34 + f15·f24·f36 + f14·f26·f35 ≥ f16·f24·f35 + f15·f26·f34 + f14·f25·f36.
ס. פומין
פתרון

6. (כל סעיף 5 נקודות) כרטיס של מתלוטו מהווה טבלה בגודל 10×10 משבצות.
השחקן מסמן 10 משבצות ושולח את הכרטיס להגרלה. לאחר מכן בעיתון מתפרסמים 10 מספרים מפסידים.
הוכח:
א. אפשר למלא 13 כרטיסים, כך שבינהם בטוח יהיה כרטיס "זוכה", כלומר כרטיס שבו לא מסומנת משבצת מפסידה.
ב. 12 כרטיסים לא מספיקים למטרה זו.
ס. טוקרב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) במשולש צלע אחת קטנה פי 3 מסכום הצלעות האחרות. הוכח כי מול צלע זו נמצאת זווית קטנה ביותר במשולש.
א. טולפיגו
פתרון

2. (5 נקודות) נתונים 25 גושי גבינה צהובה בעלי משקלים שונים.
האם תמיד אפשר לחתוך אחת הגושים ל-2 ולשים את הגבינה ב-2 שקיות כך שבשניהם יהיה משקל זהה ומספר גושי גבינה זהה?
ו. ל. דולניקוב
פתרון

3. (5 נקודות) קבוצה של 2N שחמטאים ארגנו שני תחרויות שח מלאות, כלומר בכל תחרות כל שחקן שיחק אם כל שחקן אחר פעם אחת בדיוק (בשחמט המנצח מקבל נקודה, המפסיד 0 נקודות, ובמקרא של תיקו כל שחקן מקבל ½ נקודה).
מסתבר, שעבור כל שחקן, סכום הנקודות שהוא צבר בתחרות הראשונה שונה ב-N לפחות מאשר סכום הנקודות שהוא צבר בפעם השנייה.
הוכח, שזה השתנה ב-N בדיוק.
ב. פרנקין
פתרון

4. (6 נקודות) במשושה קמור  AC’BA’CB’ מתקיים  AB’=AC’ , BC’=BA’ , CA’=CB’ וגם  ∠A+∠B+∠C=∠A’+∠B’+∠C’ .
הוכח כי שטח המשולש ABC שווה למחצית שטח המשושה.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5. (כל סעיף 4 נקודות) הוכח כי את המספר מספר
א. 9797
ב. 199717
לא ניתן להציג בתור סכום של מספר חזקות שלישיות עוקבות. (למשל 73+83+93+103)
א. א. ייגורוב
פתרון

6. (7 נקודות) תהי P נקודה פנימית של משולש שווי שוקיים ABC שבו BC=AC.
 ∠ABC = 80o , ∠PAC = 40o , ∠ACP = 30o .
מצא את הזווית BPC∠.
ג. הלפרין
פתרון

7. נתון אוסף משקולות, שמשקליהם בגרמים: 512 , ... ,4 ,2 ,1 (חזקות של 2) – משקולת אחת מכל משקל.
אפשר לשקול מטען באמצעות משקולות אלה, כאשר מותר להניח את המשקולות על שני כפות המאזניים.
א. (5 נקודות) הוכח, שאף מטען אי-אפשר לשקול ב-90 דרכים שונות.
ב. (4 נקודות) מצא דוגמה למטען, שאפשר לשקול אותו ב-89 דרכים שונות.
א. שפובלוב, א. קולקוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתונים 25 גושי גבינה צהובה בעלי משקלים שונים. האם תמיד אפשר לחתוך אחת הגושים ל-2 ולשים את הגבינה ב-2 שקיות כך שבשניהם יהיה משקל זהה ומספר גושי גבינה זהה?
ו. ל. דולניקוב
פתרון

2. (5 נקודות) במשולש ABC העבירו את חוצי הזוויות AD, BE. נתון ש-DE היא חוצה הזוויות של הזווית ADC.
יש למצוא את גודל הזוויות A.
ס. א. טוקרב
פתרון

3. (6 נקודות – כל סעיף 3 נקודות) נתון אוסף של 20 משקולות שבעזרתם אפשר למדוד כל משקל שלם מ-1 ג' ועד 1997 ג' (מניחים תמיד את המשכל על צד אחד של המאזניים, ואת המשקולות על הצד השני).
מהו המשקל הקטן ביותר האפשרי של המשקולת הכבדה ביותר בתנאי ש:
א. משקלי המשקולות – כולם מספרים שלמים
ב. משקלי המשקולות לאו דבקה שלמים?
מ. ראזין
פתרון

4. מצולע קמור G נמצא בתוך מצולע קמור F, ולצלעותיהם אין נקודות משותפת. מיתר של מצולע F זה קטע שמחבר שני נקודות על צלעותיו.
מיתר של F נקרא תומך, אם הנקודות המשותפות של G ושל המיתר הן נקודות הגבול של G – כלומר, מיתר כזה מכיל רק צלע של G, או רק קודקוד שלו.
א. (6 נקודות) הוכח שיש מיתר תומך, שהאמצע שלו שייך ל-G.
ב. (2 נקודות) הוכח שיש שני מיתרים כאלה.
פ. פושקאר, דולניקוב
פתרון

5. (8 נקודות) נתון כי abc=1. הוכח אי שוויון הבא:
1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a) ≤ 1
ג. הלפרין
פתרון

6. (8 נקודות) יהיה  1+x+x2+...+xn-1=F(x)G(x) כאשר F,G הם פולינומים שכל מקדמיהם אפסים ואחדים.
יש להוכיח כי אחד הפולינומים, F או G, ניתן לרשום בתור  (1+x+x2+...+xk-1)T(x) כאשר (T(x הוא גם פולינום, שכל מקדמיו אפסים ואחדים (כאשר 1<k ).
ו. סנדרוב, מ. ויאלי
פתרון

7. (8 נקודות) במישור נתון אוסף סופי של פסים, שהעובי הכולל שלהם 100, ועיגול שרדיוסו 1.
הוכח, שאפשר להזיז כל פס ללא סיבוב, כך שהפסים יכסו את העיגול.
(פס זה חלק מהמישור, שנמצא בין שני ישרים מקבילים.)
מ. סמורוב
פתרון