תחרות מס': 18


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) האם אפשר למצוא 10 מספרים טבעיים עוקבים כך שסכום ריבועיהם שווה לסכום הריבועים של 9 המספרים העוקבים הבאים.
בעיה מתמונה של ספר לימוד ישן
פתרון

2) לאילו ערכי n אפשר לרצף משולש שווה צלעות בעל צלע n בטרפזים שווי שוקיים שצלעותיהם 1,1,1,2.
נ.וסילייב
פתרון

3) א) האם יתכן שבקבוצה של 9 בנים ו-10 בנות כל בת מכירה כמות שונה של בנים וכל הבנים מכירים אותה כמות של בנות.
ב)ואם יש 11 בנות ו-10 בנים?
נ.וסילייב
פתרון

4) מעגל חותך כל צלע של מעוין לשלוש חלקים. ניצבע את היקף המעוין בשיטה הבאה: נצא מאחד הקדקודים בכיוון השעון וניצבע את הקטעים בצבעים אדום לבן כחול הוכח שסכום אורכי הקטעים הכחולים שווה לסכום אורכי הקטעים האדומים .
ו.פרואיזולוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) מצא את המיקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות בתוך הקוביה ונמצאות במרחק שווה מהצלעות המצטלבות a,b,c של קוביה.
ו.פרואיזולוב
פתרון

2) האם אפשר ,בעזרת מיספריים, להרכיב מחדש עיגול נייר ולקבל ריבוע בעל אותו שטח? (מותר לעשות מספר סופי של כתחים בקווים ישרים ובקשתות של מעגל)
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון

3) על מערכת צירים x0y צוירה פרבולה x=y2. לאחר מכו מחקו את ראשית הצירים והצירים. כיצד לצייר אותם מחדש בעזרת סרגל ומחוגה? (תוך כדי שימוש בפרבולה).
א.יגורוב
פתרון

4) עבור איזה מספר n טבעי וגדול מ-1 תיתכן חבורה של ילדים בה יש n+1 בנות ו n בנים כך שכל בת מכירה כמות שונה של בנים וכל הבנים מכירים אותה כמות של בנות.
נ.וסילייב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) כמה מספרים שלמים בין 1 ל1997 שסכום ספרותיהם מתחלק ב-5 יש.
א.גאלוצ'קין
פתרון

2) הברון טוען שהוא שיגר כדור ביליארד על שולחן ביליארד בצורת משולש משוכלל והכדור עבר דרך נקודה מסוימת 3 פעמים בכיוונים שונים וחזר לנקודת ההתחלה. האם יתכן הדבר?
מ.יבדוקימוב
פתרון

3) F- צורה קמורה עם שני צירי סימטריה מואנכים זה לזה.דרך נקודה M הנמצאת במרחקים a,b מהצירים העבירו ישרים המקבילים לצירים. ישרים אלו מחלקים את F לארבעה חלקים, מצא את ההפרש שבין סכום שיטחי החלק הקטן לגדול ובין סכום שני השטחים האחרים.
ג.גלפרין, נ.וסילייב
פתרון

4) ריבוע נחתך ל-25 ריבועים חדשים כך שרק לאחד מהם יש צלע השונה מ-1 (לכל שאר הריבועים אורך הצלע הוא 1), מהו אורך הצלע של הריבוע המקורי?
ו.פרואיזולוב
פתרון

5) במקבילית ABCD הנקודה E היא האמצע של צלע AD. נקודה F היא העוקב של האנך מ-B לישר CE. הוכח שמשולש ABF שווה שוקיים.
א.ו.וולקויץ'
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) קוביה נחתכה ל-99 קוביות חדשות כך שרק לאחת מהן יש צלע השונה מ-1 (לכל שאר הקוביות אורך הצלע הוא 1), מהו אורך הצלע של הקוביה המקורית?/
ו.פרואיזולוב
פתרון

2) a,b מיספרים טיבעיים וידוע כי a2+ b2 מיתחלק ללא שארית בab , הוכח a=b.
ב.פרנקין
פתרון

3) מרכז המעגל הוא נקודה בעלת שיעורים (a,b). נסמן ב-S+ את סכום השטחים בתוך המעגל שבהם שיעורי הנקודות שווי סימן וב- S- את סכום השטחים בתוך המעגל שבהם שיעורי הנקודות הפוכי סימן. ידוע שראשית הצירים נמצאת בתוך המעגל, מצא את S+- S-.
ג.גלפרין
פתרון

4)פירמידה משולשת משוכללת ABCD(שכל מקצועותיה שוות) חסומה בקליפה כדורית. על כל פאה שלו העבירו, כמו על בסיס פירמידות משולשות משוכללות שכל השוקיים שלהם שווים: ABCD', ABDC', ACDB', BCDA' , כאשר קודקודיהן נמצאות על הספרה. מצא את הזווית בין המישורים: 'ABC ו- 'ACD
א.זאסלאבסקיי
פתרון

5) שניים משחקים, הולכים בטורות, הראשון שם נקודה אדומה במישור והשני 10 נקודות כחולות וכך זה נמשך. הראשון נחשב למנצח אם ברגע כלשהו 3 נקודות יוצרות קודקודים של משולש שווה צלעות. האם השני יכול למנוע את ניצחונו של הראשון?
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון