תחרות מס': 17


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) על המישור ממוקם ריבוע ומצוירת נקודה בדיו בלתי נראית. אדם שלובש משקפיים מיוחדות יכול לראות את הנקודה. אם להעביר ישר הוא אומר באיזה צד של הישר הנקודה נמצאת, אם הנקודה נמצאת ע הישר הוא אור שהיא נמצאת על הישר. מהי כמות הישרים המינימאלית שצריך להעביר כדי לקבוע האם הנקודה נמצאת בריבוע?
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

2) האם קימים 100 מספרים טבעיים שסכומם שווה לכפולה המשותפת המינימאלית שלהם (חלק מהמיספרים יכולים להיות שווים).
ס.י.טוקרב
פתרון

3) שטח המלבן ABCD הוא 1. המלבן מקופל כך שקודקוד A מתלכד עם קודקוד C. הוכח ששטח המחומש שהיתקבל קטן מ 0.75.
פתרון

4) דרך קודקוד A במשולש ABC מועברים חוצי הזוויות MK ו- MN של הזווית הפנימית והחיצונית של המשולש, והמשיק AK למעגל החוסם את M,N,K ) ABC שייכים לישר BC ). הוכח כי MK=KN.
י.שאריגין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) על המישור ממוקם ריבוע ומצוירת נקודה בדיו בלתי נראה. אדם שלובש משקפיים מיוחדות יכול לראות את הנקודה. אם להעביר ישר הוא אומר באיזה צד של הישר הנקודה נמצאת, אם הנקודה נמצאת ע הישר הוא אור שהיא נמצאת על הישר. מהי כמות הישרים המינימאלית שצריך להעביר כדי לקבוע האם הנקודה נמצאת בריבוע?
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

2) א) האם קיימים ארבעה מספרים טבעיים שונים כאלו שסכום כל שלושה מהם הוא מספר ראשוני?
ב) האם קיימים חמישה מספרים טבעיים שונים כאלו שסכום כל שלוש מהם הוא מספר ראשוני?
ו.סנדרוב
פתרון

3) מספר שש סיפרתי מתחיל בסיפרה 5. האם תמיד אפשר, על ידי הוספה של שש ספרות לסופו לקבל ריבוע שלם?
א.טולפיגו
פתרון

4) במישור נתונות 3 נקודות, A, B, C. יש להעביר ישר דרך נקודה C, שמכפלת המרחקים שלו ל-A ול-B יהיה הכי גדול. האם הישר הזה יחיד?
נ.וסיליב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) במשולש חד זווית הזווית הגדולה ביותר גדולה פי 5 מהזווית הקטנה ביותר. מצא את גודלי זוויות המשולש אם נתון שאת כל הזוויות ניתן להביע כמספר שלם של מעלות.
ג.גלפרין
פתרון

2) האם קיים מספר n טבעי כך שהמיספרים:
א)n-96 ,n,n+96
ב)n-1996,n,n+1996
ו.סנדרוב
פתרון

3) באיזה זווית נראה מהקודקוד של משולש ישר זווית ההיתל של המעגל החסום במשולש על היתר.
מ.יבדוקימוב
פתרון

4) נתבונן בקווים סגורים שבורים בעלי קודקודים על מעגל ובעלי 6 צלעות.
א)צייר ישר כזה שחותך את עצמו מספר מקסימלי של פעמים.
ב)הוכח שלא יכול להיות יותר נקודות הצטלבות.
נ.וסילייב
פתרון

5) שניים משחקים במשחק איקס עיגול על לוח 10X10 לפי החוקים הבאים: בהתחלה הם ממלאים את הלוח באיקסים ועיגולים(השחקן הראשון שם איקס ואחריו שותפו שם עיגול) ואחר כך מחשבים שני מיספרים: K- מספר קטעים ישרים של 5 האיקסים צמודים ו- H מספר קטעים ישרים של 5 העיגולים צמודים (סופרים חמישיות שמצוירות במאוזן במאונך או במקביל לאלכסון אם יש שש בשורה אז סופרים אותם כ- 2 חמישיות אם יש שבע אז כ- 3 חמישיות וכו') המיספר H-K הוא הזכייה של השחקן הראשון (ההפסד של השני)
א)האם יש לשחקן הראשון אסטרטגיה המבטיחה שהוא לא יפסיד?
ב)האם יש לשחקן הראשון אסטרטגיה המבטיחה ניצחון?
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) מאה אנשים נשאלו האם הם חושבים שהנשיא הבא יהיה טוב יותר מקודמו. a אנשים חושבים שהנשיא יהיה טוב יותר b אנשים חושבים שהוא יהיה אותו דבר וc חושבים שהוא יהיה גרוע יותר. סוציולוגים קבעו שני מדדים הקובעים את מידת ה"אופטימיות" של הציבור: m=a+b/2 ו- n=a-c וגילו ש m=40. מצא את n.
א.קובאלדג'י
פתרון

2) 9 ספרות 1, 2, 3... 9 רשומות בסדר כלשהו ויוצרות מספר תשעה סיפרתי. נתבונן בכל שלשות הספרות העוקבות כבמיספרים תלת סיפרתים ונחשב את סכומם. מהו הסכום המקסימלי שנוכל לקבל?
א.גאלוצ'קין
פתרון

3) נתבונן במכפלה של מאה מספרים: 1!, 2!, 3!, ..., 100!. האם אפשר לזרוק כפולה אחת בדיוק כך ששאר ריבוע שלם. (בסימון: !n אנו מתכוונים ל:1*2*3...*n).
ס.טוקאריו
פתרון

4) האם אפשר לחלק את המרחב לפירמידות משולשיות משוכללות ואוקטהדרונים משוכללים (פאות של מצולעים אלה הן משולשים משוכללים, רק שלפירמידה משוכללת יש 4 פאות כאלה ולאוקטהדרון יש 8).
א.יא.קאנל-בלוב
פתרון

5) על צלעותיו של משולש ABC נבנו (כלפי חוץ) ריבועים ABMN, BCKL, ACPQ. על הקטעים NQ ו- PK בנו ריבועיםNQZT ו- PKXY. מצא את הפרש השטחים של הריבועים NQZT ו- PKXY
(א) במקרא שהזווית ABC ישרה
(ב) במקרה הכללי
א.גירקו
פתרון