תחרות מס': 16


תשנ"ד (1994-1995)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) בארגזים נמצאים אגוזים. נתון שבכל ארגז בממוצע 10 אגוזים, ושממוצע של ריבועי כמויות האגוזים בארגזים קטן מ-1000. יש להוכיח שלפחות 10% מהארגזים לא ריקים. א. י. קאנל-בלוב
פתרון

2. (4 נקודות) במישור נתון ריבוע 8×8 שמחולק למשבצות 1×1. מחלקים אותו באמצעות משולשים שווי-שוקיים וישרי זווית, כך שכל משבצת מורכבת משני משולשים. יש 64 משולשים לבנים, ו-64 משולשים שחורים.
חלוקה נקראת "נכונה" אם שני משולשים בעלי צלע משותפת יש צבעים שונים. כמה חלוקות נכונות יש?
נ. ב. ואסילייב
פתרון

3. (4 נקודות) ישרים מאונכים k , m נחתכים בנקודה P על המעגל, ומחלקים את המעגל ל-3 קשתות. על כל קשת מסמנים נקודה, כך שהמשיק למעגל בנקודה זו יחתוך ישרים k , m בשני נקודות שנמצאות במרחק שווה מהנקודה הזו. יש להוכיח, ששלוש הנקודות שסומנו יוצרות משולש שווה צלעות.
י. פרז'וואלסקי
פתרון

4. האם אפשר לבחור תת-סדרה מתוך הסדרה 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … , (כשהסדר נשמר) כך שכל מספר בתת-סדרה שווה להפרש של שני מספרים קודמים (כלומר ak = ak-2 – ak-1)
א. (3 נקודות) של 100 מספרים ?
ב. (2 נקודות) באורך אינסופי ?
ס. טוקרב
פתרון

5. (6 נקודות) מחזורים של שני סדרות 7 ו-13. עד לאיזה איבר הן יכולות להיות שוות ?
(מחזור של סדרה {an} זה המספר הטבעי הקטן ביותר p שעבורו לכל מספר n מתקיים an = an+p).
א. י. קאנל-בלוב
פתרון

6. (6 נקודות) סכום חזקות שישיות של שש מספרים שלמים גדול ב-1 מאשר שש פעמים מכפלה שלהם.
יש להוכיח שאחד המספרים שווה 1 או 1- , והאחרים אפסים.
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

7. (9 נקודות) צורה Ф היא חיתוך של N עיגולים. מהו המספר הגדול ביותר של צלעות עקומות שיכולות להיות ל- Ф?
(צלע עקומה זה חלק מהשפה של Ф ששייך למעגל מסוים, וחסום בשני קצותיו ע"י נקודות חיתוך עם המעגלים האחרים).
נ. ברודסקי
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מקדמי המשוואה הריבועית x2+px+q=0 שונו אבל לא יותר מאש ב-0.001.
הייתכן שהשורש הגדול השתנה יותר מאשר ב-1000 ?
פתרון

2. (כל סעיף – 2 נקודות) הראה כיצד לחלק מרחב :
א. לפירמידות משולשיות זהות,
ב. לפירמידות משולשיות שווי פאות זהות (פאון נקרא שווה פאות, אם כל שתי פאות שונות שלו חופפות)
נ. ב. ואסילייב
פתרון

3. (4 נקודות) במשולש ABC חסום מעגל שמרכזו O. תיכון AD חותך אותו בנקודות X, Y.
יש למצוא זווית XOY , בהינתן AC = AB + AD.
א. פדוטוב
פתרון

4. (5 נקודות) הוכח שלכל מספרים חיוביים а1, ..., an מתקיים אי-שוויון
(1+(a12/a2)) (1+(a22/a3)) ... (1+(an2/a1)) ≥ (1+a1) (1+a2) ... (1+an)
ל. ד. קורלנדצ'יק.
פתרון

5. (6 נקודות) מחזורים של שני סדרות K ו-M, והם מספרים זרים (מחלק משותף מרבי של K ו-M הוא 1).
עד לאיזה איבר הסדרות יכולות להיות שוות ?
(מחזור של סדרה {an} זה המספר הטבעי הקטן ביותר p שעבורו לכל מספר n מתקיים an = an+p).
א. י. קאנל-בלוב
פתרון

6. (7 נקודות) מתבונן בסדרה שהאיבר ה-N שלה זו ספרה ראשונה של חזקה N2.
יש להוכיח, שכמות של מילים שונים באורך 13, כלומר תת-סדרות של 13 מספרים רצופים, שווה 57.
א. י. קאנל-בלוב
פתרון

7. (8 נקודות) צורה Ф היא חיתוך של N עיגולים. מהו המספר הגדול ביותר של צלעות עקומות שיכולות להיות ל- Ф?
(צלע עקומה זה חלק מהשפה של Ф ששייך למעגל מסוים, וחסום בשני קצותיו ע"י נקודות חיתוך עם המעגלים האחרים).
נ. ברודסקי
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) הוכח כי אם a , b , c  מספרים שלמים ובנוסף גם a/b + b/c + c/a
וגם b/a + c/b + a/c מספרים שלמים, אז |a| = |b| = |c| .
א. גריבלקו
פתרון

2. (4 נקודות) מהמצולע משוכלל בעל 10 צלעות ABCDEFGHIJ שכל צלעותיו באורך 1, גוזרים באמצעות קו ישר משולש PAQ שבו QA + PA = 1. יש למצוא את סכום הזוויות שבהן רואים את קטע PQ מהקודקודים B,C,D,E,F,G,H,I,J.
ו. פרואיזוולוב.
פתרון

3. (4 נקודות) נתון משולש משוכלל ABC. מצא את המקום הגיאומטרי של נקודות P כאלה שקטעי הישרים AP, BP שנמצאים בתוך המשולש, שווים.
פתרון

4. (5 נקודות) האם מספר a+b+c+d יכול להיות ראשוני, בתנאי שמספרים a,b,c,d שלמים ומתקיים ab = cd ?
פתרון

5. (8 נקודות) יש 4 משולשים ישרי זווית חופפים. מותר לחתוך משולש כלשהו ל-2 לפי גובה על היתר.
מותר לעשות את אותה פעולה על המשולשים שמתקבלים.
הוכח, שאחרי כל כמות של פעולות כאלו עדיין יהיו משולשים חופפים.
א. ו. שפוולוב
פתרון

6. (8 נקודות) הייתכן, ש-6 תיבות מלבניות, שלא נחתכות בזוגות, ממוקמות במרחב כך,
שמנקודה מסוימת שלא שייכת לאף תיבה לא רואים אף קודקוד שעל אף אחת מ-6 התיבות?
(תיבות לא שקופות.)
ו. פרואיזוולוב, ס. מרקלוב, א. י. קאנל-בלוב
פתרון

7. חיילים לקחו למשימה 80 קופסאות של מנות קרב - כולן שונות במשקל ומשקליהן ידועים (קיימת רשימה). לאחר זמן-מה הכתוביות נמחקו ואף אחד, חוץ מהרס"פ, לא זוכר איפה מה.
הרס"פ מעוניין להראות זאת לכולם, באמצעות רשימה ומאזניים. למאזניים יש שתי כפות ומחוג שמראה את ההפרש בין המשקלים. הוכח שעבור המטרה הזו:
א. (4 נקודות) מספיקות 4 שקילות.
ב. (4 נקודות) לא מספיקות 3 שקילות.
א. ק. טולפיגו
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) האם קיימת קליפה כדורית כזאת שעליה יש נקודה רציונלית אחת בדיוק?
(נקודה רציונלית זו נקודה שכל 3 הקואורדינטות הקרטזיות שלה – מספרים רציונליים.)
א. רובין
פתרון

2. (4 נקודות) נתונה מנסרה, שבסיסיה – מצולעים בעלים N צלעות.
עבור איזה N אפשר לצבוע את מקצועותיה ב-3 צבעים כך, שבכל קודקוד יפגשו
מקצועות ב-3 צבעים שונים, ועל כל פאה (כולל בסיסים) יש מקצועות בכל 3 הצבעים?
א. ו. שפוולוב
פתרון

3. (5 נקודות) נתון טרפז. בונים שני מעגלים שקוטריהם הם השוקיים של הטרפז.
להוכיח שכל 4 המשיקים מנקודת חיתוך האלכסונים לשני המעגלים שווים (אם הנקודה הזאת נמצאת מחוץ למעגלים).
ס. מרקלוב
פתרון

4. (6 נקודות) על המישור הודגשו נקודות מסוימות שקואורדינטות שלהן שלמות.
נתון, שמבין הנקודות המודגשות אין 4 נקודות על מעגל אחד.
יש להוכיח שקיים עיגול שרדיוסו 1995 שבתוכו אין נקודות שלמות.
א. ו. שפוולוב
פתרון

5. א. (3 נקודות) עלייה של (p(x על פני קטע (a,b) זה (p(b) – p(a. יש לחלק קטע [0,1] לחלקים שחורים ולבנים כך שלכל פולינום (p(x שדרגה שלו אינה עולה על 2, סכום העליות של (p(x על פני הקטעים השחורים שווה לסכום העליות של (p(x על פני הקטעים הלבנים.
ב. (4 נקודות) האם אפשר לעשות אותו דבר עבור פולינומים שדרגתם לא עולה על 1995?
ג. ו. קונדקוב
פתרון

6. (8 נקודות) האם קיים פאון לא קמור, כך שמנקודה M מסוימת שנמצאת מחוץ לו, לא רואים אף קודקוד שלו?
(פאון לא שקוף, אי-אפשר לראות דרכו.)
א. י. קאנל-בלוב, ס. מרקלוב
פתרון

7.(10 נקודות) להוכיח שמתוך 50 אנשים תמיד יש שניים שיש להם מספר זוגי (אולי 0) של חברים משותפים מתוך 48 אנשים האחרים.
ס. א. טוקרב
פתרון