תחרות מס': 15


תשנ"ד (1993-1994)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (כל סעיף 2 נקודות) בשורה רשומים 10 מספרים שלמים. שורה שנייה יוצרים לפי הכלל הבא: מתחת למספר A של שורה ראשונה כותבים מספר, שהוא שווה לכמות המספרים של השורה ראשונה שגדולים מ-A ונמצאים מימין ל-A. לפי אותו עקרון יוצרים שורה שלישית משורה שנייה, שורה רביעית משורה שלישית וכו'.
א. הוכח שהחל משורה מסוימת כל השורות מתאפסות (כלומר כל המספרים בשורות אלה אפסים).
ב. מה הוא המספר הכי גדול של שורות לא אפסיות (שמכילות לפחות מספר אחד שהו לא אפס?
ס. טוקרב
פתרון

2. (3 נקודות) בתוך ריבוע ABCD נמצא ריבוע PQRS. הקטעים AP, BQ, CR, DS לא חותכים זה את זה ולא חותכים את צלעות הריבוע PQRS. יש להוכיח שסכום השטחים של המרובעים BCRQ ו-DAPS שווה לסכום השטחים של ABQP ו-CDSR.
פתרון

3. (3 נקודות) נתון מרובע לא קמור ששלוש זוויות פנימיות שלו שוות ל-45°.
הוכח שאמצעי הצלעות שלו נמצאות בקודקודי הריבוע.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

4. בכל משבצת של ריבוע 8×8 מעבירים אחד מהאלכסונים. נתבונן באיחוד של 64 אלכסונים אלה. הוא מורכב ממספר רכיבי קשירות (נקודות שייכות לאותו רכיב קשירות אם אפשר לעבור מנקודה ראשונה לנקודה שנייה לפי אלכסונים שבציור).
האם כמות הרכיבים יכולה להיות
א. (2 נקודות) גדולה מ-15?
ב. (3 נקודות) גדולה מ-20?
נ. ואסילייב
פתרון

5. (6 נקודות) נסמן ב-(S(N את סכום הספרות של המספר N.
האם קיימים 3 מספרים M, N, P כך ש  M+S(M) = N+S(N) = P+S(P) ?
מ. גרבר
פתרון

6. (כל סעיף 4 נקודות) יש לבנות אוסף של משקולות, כך שכל אחד מהן שוקלת מספר שלם של גרם, ואפשר באמצעות המשקולות לשקול כל משקל מ-1 ג' עד 55 ג', אפילו במקרה שחלק מהמשקולות ילכו לאיבוד. (מניחים צמיד את המשקולות על הכף השמאלי ואת המשקל על הכף הימני. של המאזניים).
יש לפתור שני גרסאות של הבעיה:
א. יש להרכיב קבוצה של 10 משקולות שמתוכם יכולים לאבד משקולת אחת.
ב. יש להרכיב קבוצה של 12 משקולות שמתוכם יכולים לאבד כל 2.
(בכל גרסא יש להוכיח שקבוצת המשקולות שהרכבת היא בעלת התכונות הנדרשות.)
ד. זבונקין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מעגל חסום בזווית שקודקודו C, נקודות השקה A ו-B.
נתבונן במשולש עקום לא קמור ABC, כאשר AB היא קשת של המעגל.
הוכח שאם קטע נמצא בתוך המשולש העקום, אז אורכו קטן מ-AC.
פתרון

2. (3 נקודות) רושמים מספרים טבעיים בשורה, מ-1 עד מספר N כולל.
12345678910111213...(N)     
האם קיים N, כך שכל אחת מ-10 ספרות מופיעה בשורה אותו מספר פעמים?
א. אנג'אנס
פתרון

3. (3 נקודות) נתבונן במשושה שהוא חיתוך של שני משולשים.
מזיזים את אחד מהמשולשים בלי לסובב (כך שהכיוון שלו לא משתנה),
והמשושה משנה את הצורה שלו. יש להוכיח שההיקף לא משתנה.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

4. (6 נקודות) מצולע קמור בעל 1993 צלעות נחתך למצולעים קמורים בעלי 7 צלעות כל אחד.
נתון, שאף קודקוד של משולשים בעלי 7 צלעות לא נמצא בתוך צלע של מצולע בעל 1993 צלעות.
יש להוכיח שאפשר למצוא 4 קודקודים רצופים של המצולע הגדול ששייכים לאותו מצולע בעל 7 צלעות.
א. קנל-בלוב
פתרון

5. (6 נקודות) בקודקודי הריבוע יושבים 4 חרגולים. הם קופצים בסדר אקראי, אבל לא בו-זמנית.
בכל פעם חרגול לנקודה הסימטרית לגבי נקודה שבה הוא היה לגבי מרכז מסה של שלושה חרגולים אחרים.
האם יתכן שברגע מסוים חרגול יקפוץ על חרגול אחר? (חרגולים הם יצורים נקודתיים ולכולם יש מסות זהות)
א. אנג'אנס
פתרון

6. (8 נקודות) ידוע כי למשוואה x4 + ax3 + 2x2 + bx + 1 = 0 יש שורש ממשי.
הוכח כי a2 + b2 ≥ 8 .
א. ייגורוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) התלמיד לא שם לב שיש סימן כפל בין שני מספרים תלת-ספרתיים ורשם מספר שש-ספרתי.
התוצאה יצאה גדולה פי 3. מצא את המספרים האלה.
א. קוואלג'י
פתרון

2. (3 נקודות) שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. בנקודה A העבירו משיקים לשני המעגלים, שחותכים אותם בנקודות M ו-N.
הישרים BM ו-BN חותכים את המעגלים פעם נוספת בנקודות P ו-Q
(P נמצא על הישר Q , BM על הישר BN).
יש להוכיח שהקטעים MP ו-NQ שווים.
א. נגל
פתרון

3. (3 נקודות) כל אחד מ-450 חברי הפרלמנט הרוסי החטיף סטירה לחבר פרלמנט אחד בדיוק.
הוכח שאפשר להרכיב ועדה שמורכבת מ-150 חברי פרלמנט, שבה אף חבר לא סטר לאף חבר אחר.
מ. ויאלי
פתרון

4. בטבלא
0 1 2 3 4 . . . 9
9 0 1 2 3 . . . 8
8 9 0 1 2 . . . 7
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
1 2 3 4 5 . . . 0
הודגשו 10 איברים כך, שבכל שורה ובכל עמודה מודגש איבר אחד בדיוק.
הוכח שבין מספרים מודגשים יש לפחות שניים שווים.
א. סאווין
פתרון

5. האם קיים מחומש קמור, כך שישר מסוים גוזר ממנו מחומש שדומה לו?
ס. טוקרב
פתרון

6. (5 נקודות) בכל נקודה שלמה של ציר מספרים נמצאת נורה וכפתור.
כאשר לוחצים על כפתור המצב של הנורה שלו משתנה מדלוק לכבוי או להפך.
בהתחלה אף נורה לא דולקת. נתונה קבוצה סופית של מספרים שלמים S.
אפשר להוסיף מספר שלם כלשהו לכל האיברים של S וללחוץ על כל הכפתורים של המספרים שהתקבלו.
הוכח שעבור כל S באמצעות מספר פעולות כאלה אפשר להגיע למצב שיהיו בדיוק 2 נורות דלוקות.
ב. גינזבורג
פתרון

7. על ריבוע משובץ 10×10 צריך לצייר צוללות, שהם מלבנים:
צוללת אחת 1×4, שני צוללות 1×3, שלוש צוללות 1×2, וארבע צוללות 1×1.
אסור שתהיה לצוללות שונות נקודה משותפת. אבל מותר להצמיד סוללות לגבולות הריבוע.
יש להוכיח כי א. (5 נקודות) אם מציבים את הצוללות בסדר זה (מתחילים מהגדולות) אז תמיד אפשר לסיים את התהליך.
אפילו אם בכל שלב דואגים רק למקם את הצוללת הנוכחית ולא דואגים שיהיה מקום לצוללות אחרות שעוד לא צוירו.
ב. (2 נקודות) אם מציבים את הצוללות בסדר הפוך (מתחילים מהקטנות) אז יכול להיווצר מצב שלא מצליחים למצוא מקום לצוללת מסוימת.
ק. איגנטייב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם קיימים אינסוף שלשות של מספרים שלמים x, y, z כך ש x2+y2+z2=x3+y3+z3 ?
נ. ואסילייב
פתרון

2. נתונה {an} סדרה של מספרים בין 0 ל-1 שבה אחרי x מופיע תמיד 1 – |1 – 2x| .
א. (2 נקודות) הוכח כי אם a1 מספר רציונלי, אז החל ממקום מסוים הסדרה נהיית מחזורית.
ב. (2 נקודות) הוכח שאם החל ממקום מסוים הסדרה נהיית מחזורית, אז a1 מספר רציונלי.
ג. שבת
פתרון

3. (4 נקודות) לפולינום (רב איבר) מסוים (P(x יש מקדם שלילי.
האם יתכן שלכל החזקות שלו (Pn(x עבור כל n>1 כל המקדמים חיוביים?
א. קריז'אנובסקי
פתרון

4. (5 נקודות) על הצלע BC של משולש ABC נבחרה נקודה D.
במשולשים ABD ו-ACD חסומים מעגלים. המשיק החיצוני המשותף לשני המעגלים שהוא לא BC חותך את AD בנקודה K.
יש להוכיח שאורך הקטע AK אינו תלוי בבחירת הנקודה D.
א. שריגין
פתרון

5. (5 נקודות) מצא מספר שלם הכי גדול שרישום העשרוני שלו לא מסתיים באפס,
כזה שאם מוחקים ספרה אחת שלו (לא ראשונה) אז מקבלים מספר שבו הוא מתחלק.
א. גלוצ'קין.
פתרון

6. (5 נקודות) נתבונן במרובע קמור ABCD.
זוגות של צלעות מקבילות נמשכו עד החיתוך: AB ו-CD בנקודה P, CB ו-DA בנקודה Q.
יהיו lD , lC , lB , lA חוצי זוויות חיצוניים של המרובע ABCD בקודקודים A, B, C, D בהתאמה.
יהיו lQ , lP חוצי זוויות חיצוניים של APD ו-AQB (כלומר חוצי זוויות שמשלימים את הזוויות האלה ל-180°).
נסמן MAC נקודת חיתוך של lC ו- lA. נסמן MBD נקודת חיתוך של lB ו- lD. נסמן MPQ נקודת חיתוך של lQ ו-lP .
יש להוכיח שאם נקודות MAC, MBD, MPQ כולן קיימות, אז הן נמצאות על ישר אחד.
ס. מארקלוב
פתרון

7. נתבונן במצולע כלשהו (לאו דווקא קמור)
א. (3 נקודות) האם תמיד יש מיתר שמחלק את השטח שלו לשני חלקים שווים?
ב. (3 נקודות) הוכח שקיים מיתר שמחלק אותו לשני חלקים ששטח של כל אחת מהם גדול מ- 1/3 של השטח הכולל של המשולש.
ג. (2 נקודות) האם אפשר בסעיף ב' להחליף את המספר 1/3 במספר גדול יותר?
ו. פרואיזוולוב
פתרון