תחרות מס': 15


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) על צלעותיו של משושה רשמו 6 מספרים ובכל קודקוד – מספר ששווה לסכום המספרים שרשומים ב-2 הצלעות שליד אותו קודקוד. לאחר מכן, נמחקו המספרים שהיו רשומים על הצלעות, ונמחק המספר שהיה רשום על קודקוד אחד. האם ניתן לשחזר את המספר שהיה רשום על הקודקוד?
פתרון

2) קודקודי המשולש A,B,C מחוברים עם הנקודות A1, B1, C1 הנמצאות על צלעות המשולש המנוגדות (לא בקודקודים) בהתאמה. האם יתכן ואמצעי הקטעים האלו נמצאים על ישר אחד?
פתרון

3) בהתחלה, רשום על הלוח מספר A. מותר להוסיף למספר זה את אחד מהגורמים שלו, חוץ מ-A עצמו ו-1. עם המספר שהתקבל, ניתן לעשות שוב פעולה זו וכו'. הוכיחו שאם A=4 אזי באמצעות פעולות כאלו ניתן להגיע לכל מספר פריק שנחליט מראש.
מ.נ.ויאליי
פתרון

4) שלושה שחקני שחמט, A, B ו-C שחקו ביניהם בטורניר (כל אחד שחק עם כל אחד אותו מספר משחקים). האם יכול לקרות שלפי מספר הנקודות A הוא במקום הראשון ו-C במקום האחרון, ולפי מספר הניצחונות A הוא מקום אחרון ו-C מקום ראשון? (לכל ניצחון מקבלים נקודה אחת ולכל תיקו חצי נקודה).
א.רובין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) האם למשוואה x2+y3=z2 יש אינסוף פתרונות שלמים או מספר סופי של פתרונות שלמים?
פתרון

2) על היתר AB של משולש ישר זווית ABC נבחרו נקודות M ו-N כך ש: BC=BM וגם AC=AN. הוכיחו ש /MCN=45o.
פתרון

3) את המספרים 1,2,3,….,25 סדרו בטבלה של 5X5 כך, שבכל שורה המספרים מסודרים בסדר עולה. מה הערך המקסימאלי והמינימאלי שיכול להתקבל עבור הסכום של המספרים בעמודה ה-3?
פתרון

4) ששון רוצה לעשות קוביית משחק יוצאת דופן: הקובייה היא כמו קובייה רגילה, בעלת שש פאות שעליהן מצוירות נקודות(על פאות שונות מספר נקודות שונה). אבל עם זאת, הוא רוצה לצייר את הנקודות על הקובייה כך, שבכל שתי פאות סמוכות, הפרש הנקודות יהיה לפחות שתיים (ועם זאת, מותר שעל פאה יהיו יותר מ-6 נקודות). כמה נקודות צריך לצייר על הקובייה? (יש לציין את מספר הנקודות המקסימאלי, להביא דוגמה של קובייה עם מספר הנקודות הזה ולהוכיח שלא ניתן לעשות זאת עם פחות נקודות).
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) בנה מרובע לפי אורכי צלעותיו ומרחק בין אמצעי אלכסוניו.
פתרון

2) בחוג פינג-פונג רשומים 60 תלמידים. ידוע, שבכל קבוצה של 10 תלמידים יש לפחות שלושה שהם מאותה כיתה. הוכיחו שמבין כל משתתפי החוג יש לפחות 15 תלמידים שכולם לומדים באותה כיתה.
פתרון

3) מהנקודה O, הנמצאת בתוך מצולע קמור בעל n צלעות A1A2A3... An העבירו את הקטעים OA1, OA2, ..., OAn. ידוע, שכל הזוויות בין הקטעים הללו וצלעות המצולע הסמוכות להן הן זוויות חדות. בנוסף ידוע:

הוכיחו ש-O הוא מרכז המעגל החסום בתוך המצולע.
ו.פרואיזולוב
פתרון

4) נתונות 10 דסקיות המסודרות במעגל. מלמעלה הדסקיות לבנות ומלמטה- כחולות. ניתן להשתמש בשתי פעולות:
א) להפוך 4 דסקיות שעומדות כולן זו ליד זו
ב) להפוך ארבע דסקיות שמסודרות כך: XX0XX (כאשר X-דסקה שנכללת ברביעייה ו-0 דסקה שלא נכללת).
האם ניתן בעזרת מספר פעולות כאלו להביא את כל הדסקיות למצב בו הצבע הכחול יהיה למעלה?
א.טולפיגו
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) משולש ABC חסום במעגל. AA1 קוטר. A0 אמצע הצלע BC, הנקודה A2 היא סימטרית לנקודה A1 יחסית לנקודה A0. בדרך דומה נגדירB2 , C2 הוכח שנקודות אלו יתלכדו.
י.יאגובנץ
פתרון

2) ) סידרה של מספרים טבעיים היא כזו שעבור כל n המשוואה : an+2x2+an+1x+an=0 היא בעלת שורשים ממשים, האם יתכן שמספר האיברים בסדרה זו הוא:
א) 10.
ב) אינסופי.
א.שאפובאלוב
פתרון

3) יש לוח שוקולד 9X6. שני אנשים משחקים במשחק הבא: כל שחקן בתורו שובר לעצמו פס שוקולד ברוחב 1 ואוכל אותו. השחקן שישבור לוח ברוחב 2 לשני פסים ברוחב 1 יוכל פס אחד וייתן את השני ליריבו. הוכח שהשחקן הראשון יוכל לשחק כך, שללא קשר למהלכי השני הוא יוכל לפחות ב-6 ריבועים שוקולד יותר.
ר.פיודורוב
פתרון

4) נתונות 10 דסקיות המסודרות במעגל. מלמעלה הדסקיות לבנות ומלמטה- כחולות. ניתן להשתמש בשתי פעולות:
א) להפוך 4 דסקיות שעומדות כולן זו ליד זו
ב) להפוך ארבע דסקיות שמסודרות כך: XX0XX (כאשר X-דסקה שנכללת ברביעייה ו-0 דסקה שלא נכללת).
האם ניתן בעזרת מספר פעולות כאלו להביא את כל הדסקיות למצב בו הצבע הכחול יהיה למעלה?
א.טולפיגו
פתרון