תחרות מס': 14


שנת לימוד: תשנ"ג (1992-1993)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) ביום הירצחו של אחד מראשי החמאס, התאספו 101 מחבלים בכוונה לנקום במדינת ישראל, ולבצע כמה שיותר פיגועים. ידוע, שלא היה פיגוע בו השתתפו כולם. בנוסף, ידוע שכל זוג מחבלים השתתפו ביחד רק בפיגוע אחד. הוכיחו, שלפחות אחד מהמחבלים השתתף ב-11 פיגועים שונים. (יש לציין שאף אחד מהפיגועים הנ"ל לא היה פיגוע התאבדות).
א.אנדג'אנס
פתרון

2. (3 נקודות) על כל צלע של מקבילית נבחרה נקודה. נקודות שנמצאות על צלעות סמוכות (בעלות קודקוד משותף) חוברו בקו. הוכח שמרכזי המעגלים החוסמים את 4 המשולשים שנוצרו מהווים קודקודי מקבילית.
י.ד.קולנין
פתרון

3. (5 נקודות) נתון מספר טבעי M. הוכח שקיים מספר שמתחלק ב-M כך שסכום ספרותיו (בייצוג עשרוני) אי-זוגי.
ד.פומין
פתרון

4. א. (2 נקודות) במשולש ABC הזווית A∠ גדולה מהזווית B∠. הוכיחו שאורך הצלע BC גדול יותר מחצי אורכה של AB.
ב. (3 נקודות) נתון מרובע קמור ABCD ובו ∠D > ∠ B , ∠A > ∠C . הוכיחו שאורך BC גדול יותר ממחצית אורכה של הצלע AD.
פ.נאזארוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתונה קוביה בעלת אורך צלע N. ברשותנו פס ארוך של נייר דבק בעל רוחב 1. צריך לכסות את הקוביה באמצעותו כאשר הוא יכול לעבור מפאה לפאה אבל על כל פאה הוא צריך להיות מקביל לאחת המקצועות ואסור שחלקים של הפס יישארו באוויר. מהי הכמות הכי קטנה של חתיכות נייר דבק שצריך בשביל לעטוף את כל הקוביה.
א. ספיבק
פתרון

2. (4 נקודות) נתבונן בסדרת ריבועים במישור. שני הריבועים הראשונים, בעלי צלע באורך 1, ממוקמים זה ליד זה, (השני מימין לראשון) ויש להם צלע אנכית משותפת.
הצלע התחתונה של הריבוע השלישי, היא באורך 2 ומכילה את הצלעות העליונות של שני הריבועים הראשונים.
הצלע הימנית של הריבוע הרביעי שהיא באורך שלוש ומכילה את הצלעות השמאליות של הריבועים הראשון והשלישי.
הצלע העליונה של הריבוע החמישי היא באורך 5 ומכילה את הצלעות התחתונות של הריבעים הראשון השני והרביעי,
כך אנחנו ממשיכים בספירלה בלי סוף כשעוקפים את הריבועים נגד כיוון השעון, כך שהצלע של הריבוע החדש מורכבת מצלעות של שלוש ריבועים שהיו קודם.
הוכח שמרכזי כל הריבועים האלה נמצאים על שני ישרים.
א. אנג'אנס
פתרון

3. (4 נקודות) הפונקציה (f(x בקטע ו [a,b] שווה למקסימום מבין מספר פונקציות מהצורה   y=c·10-|x-d| (עבור פונקציות אלו, c לא שווה ל d ו- c>0 ). נתון ש (f(b) = f(a. הוכיחו, שסכום הקטעים בהם הפונקציה עולה שווה לסכום הקטעים בהם הפונקציה יורדת.
נ. ואסילייב
פתרון

4.א. (נקודה 1) במשולש ABC הזווית A∠ גדולה מהזווית B∠. הוכיחו שאורך הצלע BC גדול יותר מחצי אורכה של AB.
ב. (3 נקודות) נתון מרובע קמור ABCD ובו ∠D > ∠ B , ∠A > ∠C . הוכיחו שאורך BC גדול יותר ממחצית אורכה של הצלע AD.
פ.נאזארוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) הצלע AB של המשולש ABC היא באורך c.
על הצלע AB נבחרה נקודה M כך ש: φ = ∠CMA.
מצאו את המרחק בין 2 נקודות חיתוך הגבהים של המשולשים AMC ו-BMC
י.שאריגין
פתרון

2) ברחוב עומדים שני בתים, ובכל בית שתי כניסות. דיירי הבניינים מגדלים חתולים וכלבים.
ידוע, שיחס החתולים (מספר החתולים חלקי סה"כ מספר החתולים והכלבים) בכניסה א' של הבניין הראשון יותר גדול מיחס החתולים שבכניסה א' של הבניין השני, וגם, יחס החתולים בכניסה ב' בבניין הראשון יותר גדול מיחס החתולים בכניסה ב' בבניין השני.
האם זה נכון, שיחס החתולים בבניין הראשון יותר גדול מיחס החתולים בבניין השני?
א.קוואלדג'י
פתרון

3) המספרים a, b, c הם מספרים טבעיים. נתון ש: gcd(a,b,c)=1   (ב- gcd נסמן את המחלק המשותף המקסימאלי) .
בנוסף ידוע, ab/(a-b)=c. הוכיחו ש- a-b ריבוע של מספר שלם.
ס.ל.ברלוב
פתרון

4) נמלה זוחלת על צלעותיה של קובייה, והיא לעולם לא זוחלת אחורנית ובנוסף, הנמלה אינה זוחלת על פאותיה של הקובייה, אלא רק על הצלעות והקודקודים.
האם יכול לקרות מצב שהנמלה עברה בקודקוד אחד של הקובייה 25 פעמים, ובכל אחד מהקודקודים האחרים – 20 פעמים?
ס.טוקרב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1)מצא את כל המספרים מצורה 2n (כאשר n טבעי) כך שאם למחוק את הספרה הראשונה שלו בייצוג עשרוני נקבל שוב חזקה של 2.
א.פרלין
פתרון

2) מרובע ABCD חסום במעגל. M היא נקודת החיתוך של הישרים AB ו-CD, N- נקודת החיתוך של BC ו-AD. נתון ש-BM=DN. הוכיחו ש: CM=CN
פ.נאזארוב
פתרון

3)נתבונן במשולש המספרים:

     1   1   1               1
 1   -   -   -  ...        ----
     2   3   4             1993
   1   1    1           1
   -   -   --  ...  ---------
   2   6   12       1992*1993
     1    1
     -   --   ...    ...
     3   12

      ...    ...

(השורה הראשונה נתונה וכל מספר בשורות אחרות שווה להפרש שני המספרים שמעליו) בשורה ה-1993 יש איבר אחד, מצאו אותו.
ג. ו. לייבניץ
פתרון

4) יש 3 ערימות של אבנים. מותר להוסיף לכל ערימה מספר אבנים כסכום מספר האבנים ב-2 הערימות האחרות או לחילופין, להחסיר מערימה אחת מספר אבנים ששווה לסכום האבנים בערימות האחרות,
מהערימות (12,3,5) אפשר לעבור למשל לערמות (12,20,5) או (4,3,5).
האם ניתן מהערימות 19, 199, 1993 בעזרת הפעולות המותרות לעשות כך שערימה אחת תהיה ריקה?
מ.נ.גוסרוב
פתרון