תחרות מס': 13


תשנ"ב (1991-1992)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בממלכה היו 32 אבירים. חלק מהם היו ואסלים של אבירים אחרים. אביר יכול להיות ואסל רק של אביר אחד, והאדון שלו תמיד יותר עשיר ממנו. בממלכה פועל חוק: "ואסל של ואסל שלי אינו ואסל שלי". אביר שיש לו לפחות 4 ואסלים נקרא ברון. מה הוא המספר הכי גדול של ברונים שיכולים להיות בממלכה?
א. טולפיגו
פתרון

2. (6 נקודות) ABC משולש שווה שוקיים, AB=AC, ∠BAC=20°.
בתוך הצלע AB נבחרה נקודה D כך ש- AD=BC.
מצא את גודל הזווית BCD.
א. שריגין
פתרון

3. (8 נקודות) האם אפשר למלא טבלא 4×4 במספרים טבעיים, כך שהתנאים הבאים יתקיימו בו-זמנית:
א) מכפלות של מספרים שעומדים בשורה מסוימת שוות עבור כל השורות
ב) מכפלות של מספרים שעומדים בעמודה מסוימת שוות עבור כל העמודות
ג) כל המספרים בטבלא שונים
ד) כל המספרים קטנים מ-100 ?
נ. וואסילייב
פתרון

4. (8 נקודות) הסדרה {an} מוגדרת לפי הכללים הבאים: a0=9 , ולכל ak+1=3·ak4+4·ak3 , k .
הוכח שברישום של המספר  10·a הספרה 9 מופיע יותר מאלף פעמים .
מ. ויאלי
פתרון

5. ריבוע 9×9 מחולק ל-81 משבצות. משבצות מסוימות צבועות, והמרחק בין המרכזים של כל שני משבצות צבועות גדול מ-2.
א. (3 נקודות) מצא דוגמה של צביעה שעבורה יש 17 משבצות צבועות.
ב. (5 נקודות) הוכח שלא יכול להיות שיש יותר מ-17 משבצות צבועות.
ס. פומין
פתרון

6. (8 נקודות) נתון מתומן ABCDEFGH שכל זוויותיו הפנימיות שוות וכל צלעותיו הזוגיות שוות, וכל צלעותיו האי-זוגיות שוות AB=CD=EF=GH, BC=DE=FG=HA (למתומן שמקיים את התכונות הנ"ל נקרא מתומן משוכלל למחצה). נעביר אלכסונים AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB, HC. האלכסונים האלה מחלקים את המתומן למספר חלקים, ואנו נתבונן בחלק שמכיל את המרכז של המתומן. אם החלק הזה הוא מתומן, אז הוא שוב משוכלל למחצה (זה ברור). במקרה כזה נכך את מתומן משוכלל למחצה שנוצר, ונבצע עליו את אותה פעולה, וכו'... אם בשלב מסוים המצולע במרכז הוא לא מתומן, אז התהליך מסתיים. הוכח, שאם התהליך הזה אף פעם לא מסתיים אז המתומן המקורי היה משוכלל.
א. טולפיגו
פתרון

7. N תלמידים רוצים לחלק M חפיסות שוקולד זהות, אבל מותר לשבור כל חפיסה לא יותר מפעם אחד.
א. (5 נקודות) עבור איזה N זה אפשרי, כאשר M=9 ?
ב. (7 נקודות) עבור איזה M ו-N זה אפשרי?
י. צ'קאנוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (6 נקודות) במרובע חסום ABCD מתקיים BC=CD.
הוכח כי השטח של המרובע שווה ל- AC2∙sin(∠A)/2
ד. פומין
פתרון

2. (8 נקודות) האם אפשר לחלק מישור למצולעים, שכל אחד מהם עובר לעצמו בסיבובים של  360°/7 מסביב לנקודה מסוימת, וכל הצלעות של כל המצולעים גדולים מסנטימטר?
(מצולע זה צורה מישורית שחסומה ע"י קו שבור סגור שלא חותך את עצמו, לאו דבקה קמור)
א. אנג'אנס
פתרון

3. (8 נקודות) האם אפשר למלא טבלא 9×9 במספרים טבעיים, כך שהתנאים הבאים יתקיימו בו-זמנית:
א) מכפלות של מספרים שעומדים בשורה מסוימת שוות עבור כל השורות
ב) מכפלות של מספרים שעומדים בעמודה מסוימת שוות עבור כל העמודות
ג) כל המספרים בטבלא שונים
ד) כל המספרים קטנים מ-1991 ?
נ. וואסילייב
פתרון

4. (6 נקודות) הסדרה {an} מוגדרת לפי הכללים הבאים: a0=9 , ולכל ak+1=3·ak4+4·ak3 , k .
הוכח שברישום של המספר  10·a הספרה 9 מופיע יותר מאלף פעמים .
מ. ויאלי
פתרון

5. (8 נקודות) יהיה M מרכז הכובד של משולש ABC. סיבוב ב-120° מסביב לנקודה M מעביר נקודה B לנקודה P.
סיבוב באותו כיוון ב-240° מעביר נקודה C לנקודה Q.
הוכח כי משולש APQ משוכלל, או שנקודות A, P, Q מתלכדות.
א. ביקובסקי
פתרון

6. נתונה סדרה חשבונית (בעלת הפרש שונה מ-0) שמורכבת ממספרים טבעיים. הספרה 9 לא מופיע ברישום של אף איבר בסדרה .
א. (3 נקודות) הוכח שאורך הסדרה קטן מ-100.
ב. (3 נקודות) מצא דוגמא לסדרה כזאת באורך 72
ג. (4 נקודות) הוכח שאורך הסדרה לא גדול מ-72.
ו. בוגאיינקו, ס. טוקארב
פתרון

7. N תלמידים רוצים לחלק M חפיסות שוקולד זהות, אבל מותר לשבור כל חפיסה לא יותר מפעם אחד.
א. (4 נקודות) עבור איזה N זה אפשרי, כאשר M=9 ?
ב. (6 נקודות) עבור איזה M ו-N זה אפשרי?
י. צ'קאנוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (כל סעיף 2 נקודות) N מספרים (1<N) נקראים קרובים, אם כל אחד מהם קטן מסכום של כל המספרים חלקי 1-N.
ניקח N מספרים קרובים c, b, a , ... , שסכומם S. יש להוכיח כי:
א. כולם חיוביים.
ב. a + b > c
ג. (a + b > S/(n-1
ר. שלייפר
פתרון

2. (6 נקודות) במשולש ישר זווית AB , AC ניצבים, AC > AB.
על הצלע AC בוחרים נקודה Е, ועל הצלע BC נקודה D, כך ש- AB=AE=BD.
הוכח כי משולש ADE – ישר זווית אם ורק אם הצלעות של משולש ABC הם ביחס 3:4:5.
א. פארוביאן
פתרון

3. (6 נקודות) יהיו m ,n ,k מספרים טבעיים, כאשר m > n.
מה יותר גדול: או ?
(בכל ביטוי k שורשים, האותיות m ו-n מתחלפות)
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

4. (10 נקודות) נקודה P נמצאת על החוסם של משולש ABC. נבנה משולש A1B1C1 כך ש- B1C1||PA , C1A1||PB , A1B1||PC . דרך הנקודות A1 , B1 , C1 מעבירים ישרים שמקבילים ל- BC , AC , AB בהתאמה. יש להוכיח שישרים אלה נחתכים בנקודה שנמצאת על המעגל החוסם של משולש A1B1C1 .
ו. פראסולוב
פתרון

5. (10 נקודות) נתונים 50 מטבעות כסף, שמסודרות לפי משקל, ו-51 מטבעות זהב, שגם הן מסודרות לפי משקל. ידוע, שמשקל של כל שני מטבעות שונה. יש לנו מאזניים, שמאפשרי עבור שני מטבעות נתונים לבדוק, איזה מטבע כבד יותר.
כיצד, באמצעות 7 שקילות בלבד, למצוא מטבע שנמצא במקום ה-51 לפי משקל?
א. אנג'אנס
פתרון

6. (12 נקודות) עיגול מחולק ל-N גזרות, ובגזרות מסוימות נמצאים אסימונים – סה"כ 1+N אסימונים. אחר-כך מבצעים פעולות מהסוג הבא. בכל מהלך, לוקחים שני אסימונים שנמצאים באותה גזרה, ומעבירים אותם לשני כיוונים שונים לגזות שכנות.
הוכח כי אחרי מספר מספיק גדול של מהלכים לפחות חצי מהגזרות יהיו תפוסות.
ד. פומין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (6 נקודות) הוכח שמכפלת כל המספרים השלמים מ- 21917+1 עד 21991-1 כולל זה לא ריבוע שלם.
ו. סנדרוב
פתרון

הערה היסטורית: 1917 זו שנה שבה המפלגה הקומוניסטית של בולשביקים (מר"צ בישראל) עלתה לשלטון ברוסיה במהלך מהפכה אלימה. המפלגה החזיקה בשלטון במהלך יותר מ-70 שנה. 1991 זו שנה שבה ברית המועצות התפרקה והמפלגה הקומוניסטית נפלה. האירועים של 1991 היו בוודאי משמחים מאוד עבור סנדרוב, ונתנו לו השראה לחבר את השאלה הזאת.

2. (6 נקודות) בתוך עיגול בעל רדיוס 1 נמצא קו שבור סגור (שחותך את עצמו הרבה פעמים) שמורכב מ-51 קטעים ישרים. אורך של כל קטע שווה ל- . עבור כל זווית של קו שבור זה נתבונן במשולש ששתי צלעות שלו הם שני הקטעים של הקו שיוצרים את הזווית. יש סה"כ 51 משולשים כאלה. הוכח שסכום שטחי המשולשים האלה הוא לפחות כמו 3 פעמים השטח של משולש שווה צלעות שחסום במעגל של העיגול.
א. ברזינש
פתרון

3. (8 נקודות) נתונה טבלא N×N ממולאת במספרים לפי הכלל הבא:
במשבצת, שנמצאת בשורה מספר i ועמודה מספר j רשום מספר 1/(i+j-1) .
מדגישים N מספרים כך שאף שני מספרים מודגשים לא נמצאים באותה שורה או באותה עמודה.
הוכח שסכום של כל המספרים המודגשים הוא לפחות 1.
ס. איבנוב
פתרון

4. (8 נקודות) נתונים שלושה משולשים: C1C2C3 , B1B2B3 , A1A2A3 . מרכזי הכובד שלהם (שהם נקודות חיתוך התיכונים) נמצאים על ישר אחד, אבל אף שלוש נקודות מתוך 9 קודקודים לא נמצאים על ישר אחד. נתבונן ב-27 משולשים AiBjCk כאשר k, j, i מקבלים ערכים 1, 2, 3 באופן בלתי תלוי. הוכח שאפשר לפצל את המשולשים האלה ל-2 קבוצות כך, שסכום שטחי המשולשים בקבוצה ראשונה שווה לסכום שטחי המשולשים בקבוצה השנייה.
פתרון

5. (12 נקודות) נתונים 100 מטבעות כסף, שמסודרים לפי משקל, ו-101 מטבעות זהב, שגם הם מסודרים לפי משקל. ידוע, שמשקל של כל שני מטבעות שונה. יש לנו מאזניים, שמאפשרי עבור שני מטבעות נתונים לבדוק, איזה מטבע כבד יותר. כיצד, באמצעות מספר הכי קטן של שקילות, למצוא מטבע שנמצא במקום ה-101 לפי משקל? מצא שיטה לעשות זאת והוכח שאי-אפשר להסתדר בפחות שקילות.
א. אנג'אנס
פתרון

6. יהיו N, B – מספרים טבעיים. נסמן ב- (V(N,B את כמות הפירוקים של מספר N למכפלה של גורמים שכל אחד מהם גדול מ-B.
למשל, 36=6∙6=4∙9=4∙3∙3=12∙3 ולכן V(36, 3)=5.
הוכח כי V(N, B) < N/B.
נ. ואסילייב
פתרון