תחרות מס': 13


תשנ"ב (1991-1992)


סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) דרך מרכז המעגל 1 העבירו את מעגל 2. A ו- B הן נקודות החיתוך של שני מעגלים אלו. המשיק למעגל 2 בנקודה B חותך את מעגל 1 בנקודה C. יש להוכיח כי AB=BC.
ו.פראסולוב
פתרון

2. (3 נקודות) על ללוח שחמט בגודל 4×4 נימצא כלי שחמט-"צריח מעופף" , שהולך בדיוק כמו צריח רגיל אבל לא יכול לעצור על משבצת סמוכה לזו שעליה הוא עומד. האם הוא יכול לעשות 16 מהלכים כך שהוא יעצור על כל משבצת פעם אחת בלבד ויחזור לנקודה שממנה הוא התחיל.
א.טולפיגו
פתרון

3. (3 נקודות) הוכח כי:

                                        
             1                            1
  ------------------------ + ---------------------------- = 1
               1                            1
  2 + --------------------   1 + ------------------------
                 1                            1
      3 + ----------------       1 + --------------------
                                                1
          4 + .                      3 + ----------------
                .                        
                  .    1                 4 + .
                    + ----                     .
                      1991                       .    1
                                                   + ----
                                                     1991

ג. הלפרין
פתרון

4. (3 נקודות) על מעגל ממוקמים שש מספרים כך שכל אחד שווה לערך המוחלט שלהפרש שני המספרים הבאים אחריו בכוון השעון. סכום המספרים שווה לאחד. מצא את המספרים האלו.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) בתוך זווית ממוקמים שני מעגלים בעלי המרכזים A ו-B המעגלים משיקים זה לזה ולשני צלעות הזווית. הוכח שמעגל בעל קוטר AB משיק לצלעות הזווית.
ו.פראסולוב
פתרון

2. (3 נקודות) יום אחד חבורת ילדים יצאו ליער לאסוף פטריות. בחבורה היו 11 בנות ו-n בנים. ביחד כולם אספו n2+9n-2 פטריות וכל אחד/אחת מהחבורה אסף/ה מספר שווה של פטריות. האם בחבורה היו יותר בנים או יותר בנות? (כל אחד אסף מספר שלם של פטריות).
א.טולפיגו
פתרון

3. (3 נקודות) במשולש ABC על הצלע AB נבחרה נקודה D כך ש: AD/DC=AB/BC. הוכיחו שהזווית C היא קהה.
ס.ברלוב
פתרון

4. (3 נקודות) על מעגל ממוקמים שלושים מספרים כך שכל אחד שווה לערך המוחלט של הפרש שני המספרים הבאים אחריו בכוון השעון. סכום המספרים שווה לאחד. מצא את המספרים האלה.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) בראשון לחודש של חודש כלשהו בחנות היו 10 מוצרים והמחיר של כולם היה אותו דבר. לאחר מכן, בכל יום התייקר כל מוצר פי 2 או פי 3. בראשון לחודש של החודש הבא כל המחירים של עשרת המוצרים היו שונים זה מזה. הוכיחו שהיחס בין המוצר היקר ביותר לבין המוצר הזול ביותר גדול מ-27. (3 נקודות).
ד.פומין ,ס. סמירנוב
פתרון

2. (3 נקודות) בטרפז ABCD (הבסיס הוא AD) האלכסון AC שווה לסכום הבסיסים. הזווית בין האלכסונים שווה ל-60°. הוכיחו שהטרפז שווה שוקיים.
ס. סמירנוב
פתרון

3. (3 נקודות) לשמוליק אספן המטבעות יש מספר מטבעות, וקוטר כל אחד מהם לא עולה על 10 ס"מ. הוא שומר את מטבעותיו בקופסא שטוחה 30 ס"מ × 70 ס"מ (בשכבה אחת). לשמוליק היה יום הולדת והביאו לו במתנה מטבע חדש שקוטרו 25 ס"מ. הוכיחו, ששמוליק יכול לסדר כעת את כל מטבעותיו בקופסה של 55 ס"מ × 55 ס"מ (בשכבה אחת).
פ. נאזארוב
פתרון

4. (5 נקודות) מעגל מחולק ל-7 קשתות כך, שסכום כל זוג קשתות סמוכות לא גדול מ-103°. מצאו את המספר הגדול ביותר A, כך שבכל חלוקה לקשתות כזו, כל קשת לא תהיה פחות מ-°A (והוכיחו שה-A שמצאתם הוא באמת המקסימאלי).
א.טולפיגו
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) בראשון לחודש של חודש כלשהו בחנות היו 10 מוצרים והמחיר של כולם היה אותו דבר. לאחר מכן, בכל יום התייקר כל מוצר פי 2 או פי 3. בראשון לחודש של החודש הבא כל המחירים של עשרת המוצרים היו שונים זה מזה. הוכיחו שהיחס בין המוצר היקר ביותר לבין המוצר הזול ביותר גדול מ-27.
ד.פומין ,ס. סמירנוב
פתרון

2. (3 נקודות) אורכי צלעות המשולש הם 3,4,5 ס"מ נעביר את חוצי הזווית של הזוויות החיצוניות של המשולש עד לנקודות החיתוך עם המשכי הצלעות. הוכח שאחת משלושת הנקודות שהתקבלו היא באמצע הקטע המחבר את שתי הנקודות האחרות.
ו.פראסולוב
פתרון

3. (3 נקודות) מהמרכז O של המצולע המשוכלל A1A2...An העבירו n ווקטורים אל הקודקודים של המצולע.
נתונים מספרים a1, a2, ..., an כך ש a1>a2>...>an>0.
הוכח שקומבינציה לינארית של הווקטורים a1·OA1+ a2·OA2+...+ an·OAn לא שווה לווקטור ה-0.
ד.פומין, א. קיריצ'נקו
פתרון

4. (4 נקודות) עשרה מספרים עומדים במעגל,וסכומם הוא מאה. נתון, שסכום כל שלושה מספרים סמוכים הוא לא קטן מ-29. מצאו את המספר המינימאלי A , שמקיים: לכל עשרה מספרים כאלו, כל מספר הוא לא גדול יותר מ-A (והוכיחו כי A הוא באמת המינימאלי).
א.טולפיגו
פתרון