תחרות מס': 12


תשנ"א (1990-1991)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) נתון

הוכח כי

ג. הלפרין
פתרון

2. (4 נקודות) נתונה חצי מעגל Γ שקצוותיה A ו- B. עבור כל נקודה C על Γ שלא מתלכדת לא עם A ולא עם B, על הצלעות AC ו- BC של משולש ABC בונים (כלפי חוץ) ריבועים. מצא את המקום הגיאומטרי של אמצע הקטע שמחבר את מרכזי שני הריבועים האלה.
י. טבוב
פתרון

3. (5 נקודות) ריבוע 8×8 צבוע כולו בלבן. מותר לבחור בו כל מלבן שמורכב מ-3 משבצות לצבוע את כל המשבצות שלו בצבע הפוך (שחורות בלבן, לבנות בשחור). האם אפשר ע"י פעולות כאלה לצבוע את כל הריבוע בשחור?
א. רובנוב
פתרון

4. (5 נקודות) צלעותיו AB, BC, CD, DA של מרובע ABCD שוות לצלעות המתאימות 'A'B', B'C', C'D, D'A של המרובע 'A'B'C'D. נתון בנוסף, ש- AB מקביל ל- CD, וש- 'B'C מקביל ל- 'D'A. הוכח, ששני המרובעים – מקביליות.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5. (6 נקודות) סדרת מספרים {xn} מקיימת xn+1=|xn|-xn-1 , עבור כל n>1.
הוכח, שהסדרה מחזורית עם מחזור 9, כלומר xn=xn+9 עבור n>0.
מ. קונצוויץ'
פתרון

6. בחפיסה N קלפים שונים. מותר להוציא כל כמות של קלפים שעומדים ברצף בתוך החפיסה, ולהכניס אותם לאזור אחר של החפיסה, בלי לשנות את הסדר שלהם ובלי להפוך. צריך לסדר את הקלפים בסדר ההפוך לסדר המקורי בעזרת פעולות כאלו. הוכח כי:
א. (3 נקודות) עבור N=9 מספיק 5 פעולות.
ב. (3 נקודות) עבור N=52 מספיק 27 פעולות.
ג. (4 נקודות) אבל 17 פעולות לא מספיק
ד. (4 נקודות) ואפילו 26 פעולות לא מספיק
ס. וורונין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) נתון

הוכח כי

ג. הלפרין
פתרון

2. (4 נקודות) על הקשת AC של מעגל החוסם את המשולש משוכלל ABC לקחו נקודה M, ונקודה P שהיא אמצע הקשת AC. N היא אמצע הקטע BM, K היא נקדה על היישר MC כך ש-PK מאונך ל-MC. הוכח כי ANK - משולש משוכלל.
א. נגל
פתרון

3. (4 נקודות) נתבונן בקבוצה סופית של ריבועים 1×1 במישור, שצלעותיהם מקבילים לצירים. (יתכן שיש חיתוך בין ריבועים). נתון, שעבור כל זוג של ריבועים בקבוצה המרחק בין מרכזיהם אינו עולה על 2. הוכח שקיים ריבוע 1×1 שצלעותיו מקבילים לצירים (לאו דבקה מהקבוצה שלנו) שיש לו חיתוך לא ריק (של לפחות נקודה אחת) אם כל ריבוע מהקבוצה שלנו.
א. אנג'אנס
פתרון

4. (5 נקודות) על המישור סומנו 20 נקודות, שאף 3 מהן לא נמצאות על ישר אחד: 10 בצבע אדום, 10 בצבע כחול. הוכח שאפשר להעביר ישר שבכל צד שלה יש 5 נקודות כחולות ו- 5 נקודות אדומות.
א. קושנירנקו
פתרון

5. (7 נקודות) במשולש D , AC=BC ABC היא נקודה על הקטע AB כך שרדיוסים של שני מעגלים שווים: של מעגל החסום במשולש ACD ומעגל שמשיק לקטע BD ולהמשכי הקטעים CB ו- CD (שנמצאת מחוץ למשולש DCB). הוכח שרדיוסים אלה שווים לרבע מהגובה על AC של משולש ABC.
א. שריגין
פתרון

6. בחפיסה N קלפים שונים. מותר להוציא כל כמות של קלפים שעומדים ברצף בתוך החפיסה, ולהכניס אותם לאזור אחר של החפיסה, בלי לשנות את הסדר שלהם ובלי להפוך. צריך לסדר את הקלפים בסדר ההפוך לסדר המקורי בעזרת פעולות כאלו. הוכח כי:
א. (2 נקודות) עבור N=9 מספיק 5 פעולות.
ב. (2 נקודות) עבור N=52 מספיק 27 פעולות.
ג. (4 נקודות) אבל 17 פעולות לא מספיק
ד. (4 נקודות) ואפילו 26 פעולות לא מספיק
ס. וורונין
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) הוכח כי מכפלת השברים (k3-1)/(k3+1)
כאשר k = 2, 3, ..., 100, גדולה מ 2/3.
ד. פומין
פתרון

2. (4 נקודות) במחומש חוסם ABCDE האלכסונים AD ו- CE נחתכים במרכז של המעגל החסום.
הוכח כי הקטע BO מאונך לצלע DE.
פתרון

3. מחפשים מספרים שמקיימים שלוש תכונות:
(1) הספרה האחרונה שווה 5
(2) כל ספרה החל מהספרה השנייה גדולה או שווה לספרה הקודמת
(3) גם עבור הריבוע של מספר זה, כל ספרה החל מהספרה השנייה גדולה או שווה לספרה הקודמת. (בכל התנאים מדובר ברישום עשרוני).
א. (2 נקודות) מצא 4 מספרים כאלה.
ב. (3 נקודות) הוכח שיש אינסוף מספרים כאלה.
א. אנג'אנס
פתרון

4. (4 נקודות) עיגול חולק ל-2 גזרות ע"י מיתר AB. אחת מהגזרות סובבה
מסביב ל-A בזווית מסוימת, ובזמן הסיבוב נקודה B עברה לנקודה 'B.
הוכח/י כי שני הקטעים שמחברים את האמצע של B'B לאמצעים של הקשתות של הגזרות מאונכים זה לזה.
ז. נסירוב
פתרון

5. (6 נקודות) בממלכה 8 ערים. המלך רוצה להקים מערכת כבישים, כך שמכל עיר לכל עיר יהיה אפשר להגיע, כך שבדרך לא יהיה צריך לעבור ביותר מאשר עיר נוספת אחת, וכך שמכל עיר יצאו K כבישים לכל היותר. עבור אילו K זה יתכן?
ס. פומין
פתרון

6. (8 נקודות) בתחרות משתתפים 16 מתאגרפים. כל מתאגרף יכול להשתתף רק בקרב אחד בכל יום. ידוע, כי לכל המתאגרפים יש כוח שונה, ושבקרב תמיד החזק מנצח. הוכח, שתוך 10 ימים אפשר למצוא מקום של כל מתאגרף. (רשימת קרבות למחר מכינים בערב של כל יום. אין אפשרות לשנות את הרשימה ביום של הקרב.)
א. אנג'אנס
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) מחפשים מספרים שמקיימים שלוש תכונות:
(1) הספרה האחרונה שווה 5
(2) כל ספרה החל מהספרה השנייה גדולה או שווה לספרה הקודמת
(3) גם עבור הריבוע של מספר זה, כל ספרה החל מהספרה השנייה גדולה או שווה לספרה הקודמת. (בכל התנאים מדובר ברישום עשרוני).
הוכח שיש אינסוף מספרים כאלה.
א. אנג'אנס
פתרון

2. (5 נקודות) במעגל נבחר מיתר קבוע MN. עבור כל קוטר AB, לוקחים נקודה C שהיא נקודת חיתוך של MA ו-NB ומעבירים דרך C ישר l שמאונך ל-AB. הוכח שלכל בחירה של קוטר AB הישרים l תמיד יעברו דרך אותה נקודה.
י. קולנין
פתרון

3. (5 נקודות) סכום של N מספרים שווה לאפס, וסכום הריבועים שלהם שווה ל-1. הוכח, שיש שני מספרים ביניהם, שמכפלתם אינה עולה על -1/N .
פתרון

4. על הקליפה הכדורית מסומנות 5 נקודות, שאף שלוש מהן לא נמצאות על מעגל גדול. (מעגל גדול זה המעגל של החיתוך בין קליפה הכדורית למישור שעובר דרך מרכזה. שני מעגלים גדולים נקראים שקולים, אם אפשר להעביר אחד לשני באמצעות הזזה רציפה כך שבאף רגע המעגל הגדול שנוצר לא יעבור דרך נקודה מסומנת. (במהלך הזזה רציפה, המעגל תמיד נשאר מעגל גדול).
א. (3 נקודות) כמה מעגלים לא שקולים, שלא עוברים דרך נקודות מסומנות, אפשר לצייר?
ב. (3 נקודות) אותה שאלה עבור N נקודות.
א. קנל-בלוב
פתרון

5. בממלכה 16 ערים. המלך רוצה להקים מערכת כבישים, כך שמכל עיר לכל עיר יהיה אפשר להגיע, כך שבדרך לא יהיה צריך לעבור ביותר מאשר עיר נוספת אחת, וכך שמכל עיר יצאו K כבישים לכל היותר.
א. (4 נקודות) הוכח שעבור K = 5 זה אפשרי.
ב. (4 נקודות) הוכח שעבור K = 4 זה בלתי אפשרי.
ס. פומין
פתרון

6. (8 נקודות) בתחרות משתתפים 32 מתאגרפים. כל מתאגרף יכול להשתתף רק בקרב אחד בכל יום. ידוע, כי לכל המתאגרפים יש כוח שונה, ושבקרב תמיד החזק מנצח. הוכח, שתוך 15 ימים אפשר למצוא מקום של כל מתאגרף. (רשימת קרבות למחר מכינים בערב של כל יום. אין אפשרות לשנות את הרשימה ביום של הקרב.)
א. אנג'אנס
פתרון