תחרות מס':12

שנת לימוד: 1990-1991

סתיו

כיתות ט'-י'

1.(4) הוכיחו שאם מכפלה של שני מספרים ממשיים חיוביים גדולה מסכומם אזי הסכום שלהם גדול מ-4.
נ. ואסילייב
פתרון

2.(4) קודקודי משולש משוכלל נמצאים על הצלעות AB, CD ו- EF של המשושה המשוכלל ABCDEF. הוכיחו שלמשולש ולמשושה האלו יש מרכז משותף.
נ. סדראקיאן
פתרון

3.(4) מצאו 10 מספרים טבעיים שונים שסכומם מתחלק בכל אחד מ-10 המספרים הללו.
ס. פומין
פתרון

4.(5) לוח 100×100 מחולק ל- 10000 ריבועים קטנים. גזרו אחד מהריבועים הקטנים כך שנותר חור בלוח. האם ניתן לכסות את כל שאר הלוח במשולשים שווי שוקיים ישרי זווית בעלי יתר באורך 2 כך, שהיתרים של המשולשים יעברו על הצלעות של המשבצות וניצבי המשולשים יהיו אלכסונים של משבצות הלוח וכך שהמשולשים לא יעלו זה על זה ולא יצאו מתחומי הלוח?
ס. פומין
פתרון


כיתות יא'-יב'




1.(4) במשבצות לוח רשמו מספרים מ-1 עד n 2 בצורה אקראית.אף מספר לא חוזר על עצמו פעמיים. הוכיחו, שיימצאו 2 משבצות סמוכות (2 משבצות נקראות סמוכות אם יש להן קודקוד או צלע משותפת) שההפרש בין המספרים הכתובים בהן יהיה לפחות 1+n.
נ. סדראקיאן
פתרון

2.(4) במישור אחד, העבירו 3 סדרות אינסופיות של ישרים מקבילים זה לזה שנמצאים במרחקים שווים זה מזה, ויחדיו כל הישרים מחלקים את המישור לאינסוף משולשים משוכללים קטנים שאורך צלעם 1. M – קבוצת הקודקודים של המשולשים הללו. A ו-B הם שני קודקודים של משולש אחד. ניתן לסובב את המישור הנ"ל ב-120 מעלות סביב לכל נקודה מקבוצת הנקודות M. האם ניתן באמצעות מספר סיבובים כאלו להעביר את הנקודה A למקומה המקורי של נקודה B ?
נ. ואסילייב
פתרון

3.(4) על קיר תלויים שני שעונים זהים ומדויקים, אחד מראה את השעה במוסקבה והשני מראה זמן מקומי. המרחק המינימאלי בין קצוות מחוגי השעות שלהם הוא m והמקסימלי M. מהו המרחק בין מרכזי השעונים?
ס. פומין
פתרון

4.(5) נתונות לנו "לבנים" בצורה שמתקבלת באופן הבא: לוקחים קובייה בעלת צלע באורך 1 ומדביקים עוד שלוש קוביות כאלה על שלוש פאות של הקובייה שלנו, כך, שלשלושת הפאות הללו יהיה קודקוד משותף.
האם ניתן באמצעות לבנים שכאלו (יש מס' בלתי מוגבל של לבנים) לבנות תיבה בגודל 11×12×13?
ס. פומין
פתרון





אביב


כיתות ט'-י'

1.(3) נתונים N מספרים (N>1). נתון שהפרש בין כל אחד מהם למכפלת כל המספרים האחרים מתחלק ב-N. הוכח כי סכום של הריבועים של כל המספרים מתלק ב- N.
ד.פומין
פתרון

2.(3) כל אחד משלושת המעגלים הנתונים בעלי הרדיוסים: 1, r ו- r משיק ל-2 האחרים. לאלו ערכים של r קיים משולש החוסם את שלושת המעגלים? (כל המעגלים נמצאים בתוך המשולש כך, שכל מעגל משיק ל-2 צלעות של המשולש וכל צלע של המשולש משיקה ל-2 מעגלים).
נ. ואסילייב
פתרון

3.(3)בשורה עומדים 30 מגפיים, 15 שמאליים ו-15 ימניים. הוכיחו שיימצאו 10 מגפיים ברצף בהם 5 מגפיים שמאליים ו-5 ימניים.
ד. פומין
פתרון

4.(3) על מסך המחשב מופיע מספר, שכל דקה גדל ב-102. הערך ההתחלתי הוא 123. המתכנת פינחס בכל רגע יכול לשנות את סדר הספרות שעל המסך. האם פינחס יכול לגרום לכך, שהמספר שעל המסך אף פעם לא יהיה ארבע ספרתי?)
ד.פומין
פתרון


כיתות יא'-יב'

1.(4) מצאו את כל המספרים הטבעיים n והמספרים השלמים y , x השונים זה מזה שעבורם מתקיים:
x+x2+x4+...+x2n= y+y2+y4+...+y2n.
פתרון

2.(4) על המעגל נתונות נקודות K ו- L. בנה משולש ABC כזה, ש- KL היא קו אמצעים שלו שמקביל ל- AB, וכך שגם C וגם נקודת חיתוך התיכונים של משולש ABC נמצאים על המעגל הנתון.
פתרון

3.(4) על הלוח רשמו את המספרים 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100. בוחרים באופן אקראי שניים מהמספרים הכתובים על הלוח, A ו-B, מוחקים אותם מהלוח, ובמקומם רושמים את המספר AB + B + A . את הפעולה הזו נבצע 99 פעמים עד שעל הלוח יישאר מספר אחד. מצאו מהו, והוכיחו שהוא לא תלוי בסדר שבו אנו בוחרים את המספרים.
פתרון

4) א.(2) האם ניתן למקם 4 קוביות במרחב כך, שלכל קובייה יהיה שטח מגע משותף עם כל שאר הקוביות (שטח
המגע חייב להיות מצולע)?
ב.(2) אותה השאלה עבור 6 קוביות
פתרון