תחרות מס': 11


תש"נ (1989-1990)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) מצא את כמות הפתרונות במספרים טבעיים של המשוואה: x/10]=[x/11]+1]
(ב- [A] מסמנים את החלק השלם של מספר A, למשל [2]=2 ,[2.031]=2).
פתרון

2. (3 נקודות) משושה ABCDEF חסום במעגל, ונתון גם: AB=BC, CD=DE, EF=FA. הוכח כי שטח של משולש BDF שווה לחצי משטח המשושה.
א. נגל
פתרון

3. (3 נקודות) המישור מחולק ע"י 3 משפחות של קווים מקבילים למשולשים שווי צלעות חופפים. האם קיימים 4 נקודות שהם קודקודים של משולשים אלה, שיוצרים ריבוע?
פתרון

4. נתון מספר טבעי N. נתבונן בשלשות של מספרים טבעים שונים (a,b,c) כאלו ש a+b+c=N. ניקח אוסף גדול ביותר של שלשות מהסוג הזה, שבו לאף שני שלשות אין מספרים משותפים. כמות השלשות באוסף הזה יסומן ב-(K(N. הוכח כי:
א. (2 נקודות) K(N) > N/6 -1
ב. (4 נקודות) K(N) < 2N/9
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

5. נתון לוח מלבני N×M שמחולק למשבצות 1×1. בנוסף, יש הרבה אבני דומינו 2×1. האבנים נמצאים על הלוח, כך שכל אבן מונחת על שתי משבצות. לא כל הלוח מכוסה, אבל אי-אפשר להזיז אף אבן (בגבולות הלוח יש דפנות, כך שאבנים לא יכולות לצאת החוצה). הוכח, שכמות המשבצות הלא מכוסות
א. (2 נקודות) קטנה מ- 4/MN
ב. (4 נקודות) קטנה מ- 5/MN
פתרון

6. (7 נקודות) משושה משוקלל מחולק ל- N מקביליות שווי שטח. הוכח ש- N מתחלק ב-3.
ו. פראסולוב, א. שריגין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם אפשר לבחור כדור, פירמידה משולשת ומישור, כך שכל מישור, שמקביל למישור הנתון, יחתוך מהפירמידה ומהכדור צורות בעלות שטח זהה?
פתרון

2. (3 נקודות) ניקח את כל האוספים האפשריים של מספרים מתוך הקבוצה {1, 2, ..., N} , שלא מכילים אף זוג של מספרים עוקבים.
הוכח שהסכום של מכפלות ריבועי המספרים בכל אוסף שווה N+1)!-1) .
לפי רעיון של ר. פ. סטנלי
פתרון

3. (5 נקודות) בתוך עיגול בעל רדיוס R נבחרה נקדה A. דרכה עוברים שני ישרים מאונכים זה לזה. מסובבים את הישרים בזווית U מסביב ל- A. המיתרים שנוצרים מישרים אלה במנהלך התנועה, מכסים צורה מסוימת, שדומה לצלב שמרכזו ב- A. מצא את השטח של הצלב הזה.
פתרון

4. קבוצת כל המספרים הטבעיים הוצגה כאיחוד של אוסף מסוים של סדרות חשבוניות, שאין להם איברים משותפים.
ההפרשים של סדרות אלה הם מספרים חיוביים d3 , d2 , d1 ....
האם יכול להיות שהסכום  1/d1 + 1/d2 + 1/d3+... אינו עולה על 0.9? התייחס בנפרד לשני מקרים:
א. (2 נקודות) כמות הכוללת של הסדרות היא סופית.
ב. (3 נקודות) כמות הכוללת של הסדרות היא אינסופית (במקרה זה צריך להבין את התנאי כך: סכום של כל מספר סופי של המחוברים בסכום אינו עולה על 0.9)
א. טולפיגו
פתרון

5. (6 נקודות) במישור נבחרו 100 נקודות: N קודקודים של מצולע קמור , ובנוסף N – 100 נקודות בתוכו. N לא נתון. כול 100 הנקודות ממוספרות. ידוע, שאף 3 נקודות לא נמצאות על ישר אחד, ואף 4 נקודות על שני ישרים מקבילים. מותר לשאול שאלות מהסוג : מה השטח של משולש XYZ, כאשר X, Y, Z הן נקודות מתוך 100 שנבחרו. הוכח, שמספיק לשאול 300 שאלות כאלה כדי לדעת איזה נקודות מהוות קודקודים ומה השטח.
ד. פומין
פתרון

6. (8 נקודות) בטבלא N עמודות ו- M שורות ( N > M ). חלק מהמשבצות מסומנות בכוכביות, כך שבכל עמודה יש כוכבית אחת לפחות. הוכח, שיש כוכבית כזאת, שבשורה שלה יש יותר כוכביות מאשר בעמודה שלה.
א . ראזבורוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (6 נקודות) לכמה חלקים אפשר לחלק את המישור ע"י גרפים של 100 פרבולות מהסוג y=anx2+bnx+cn ?
נ. וואסילייב
פתרון

2. (6 נקודות) אם מסובבים את הריבוע ב- 45o יחסית למרכזו, אז צלעותיו של הריבוע המסובב יחלקו את צלעות הריבוע ל-3 קטעים. היחסים בין הקטעים האלה הם a:b:a (קל לחשב אותם). עכשיו ניקח מרובע כלשהו, ונחלק את כל צלעותיו ל-3 קטעים ביחס של a:b:a ונעביר ישר דרך כל זוג של נקודות החלוקה, שסמוכות לקודקוד כלשהו. הוכח ששטח המרובע שחסום ע"י 4 ישרים אלה שווה לשטח המרובע המקורי.
א. סאווין
פתרון

3. (8 נקודות) בשורה עומדים 15 פילים. כל אחד שוקל מספר שלם של קילוגרמים. אם ניקח משקל של פיל כלשהו (חוץ מהימני ביותר) ונוסיף לו פעמיים המשקל של השכן שלו מצד ימין נקבל 15 טון (תזכורת: טון = 1000 ק"ג), עבור כל אחד מ-14 פילים. מצא את המשקל של כל אחד מהפילים.
פ. נזרוב
פתרון

4. (8 נקודות) ABCD – מעוין. על הצלע BC נבחרה נקודה P. דרך A, B, P עובר מעגל, שחותך את BD שוב ב- Q. דרך C, P, Q עובר מעגל שחותך את BD שוב ב- R. הוכח ש- A, R, P נמצאים על קו ישר.
ד. פומין
פתרון

5. (10 נקודות) כמה יש זוגות מספרים טבעיים (m,n) כאלה ששניהם לא גדולים מ- 1000
וכך ש- m/(n+1) < √2 < (m+1)/n ?
ד. פומין
פתרון

6. נתבונן באוסף של משקולות, כזה שמשקל של כל משקולת בו מספר שלם של גרמים. סכום משקלי כל המשקולות 200 גרם. האוסף יקרא תקני, אם כל משקל שקטן מ-200 (ושלם בגרמים) אפשר לאזן ע"י מספר משקולות מהאוסף שלנו בשיטה אחת בדוק (שמים את המשקל על כף אחד, את השקולות על כף אחר. אם מחליפים משקולות מסוימות במשקולות מאותו משקל, אלו מבחינתנו שתי שיטות איזון זהות ).
א. (4 נקודות) מצא דוגמא לאוסף תיקני, שלא כל המשקולות בו הם במשקל של גרם 1.
ב. (8 נקודות) כמה אוספים תיקנים שונים יש? (שני אוספים שונים אם יש משקל שמופיע מספר שונה של פעמים בשני האוספים)
ד. פומין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (6 נקודות) הוכח שלכל N טבעי קיים פולינום לא אפסי (P(x שכל מקדם שלו הוא 0, 1, או 1- , הדרגה שלו היא 2N לכל היותר, והוא מתחלק ב x-1)N) ללא שארית.
ד. פומין
פתרון

2. נתבונן באוסף של משקולות, כזה שמשקל של כל משקולת בו מספר שלם של גרמים. סכום משקלי כל המשקולות 200 גרם. האוסף יקרא תקני, אם כל משקל שקטן מ-200 (ושלם בגרמים) אפשר לאזן ע"י מספר משקולות מהאוסף שלנו בשיטה אחת בדיוק (שמים את המשקל על כף אחד, את המשקולות על כף אחר. אם מחליפים משקולות מסוימות במשקולות מאותו משקל, אלו מבחינתנו שתי שיטות איזון זהות ).
א. (4 נקודות) מצא דוגמא לאוסף תיקני, שלא כל המשקולות בו הם במשקל של גרם 1.
ב. (6 נקודות) כמה אוספים תיקנים שונים יש? (שני אוספים שונים אם יש משקל שמופיע מספר שונה של פעמים בשני האוספים)
ד. פומין
פתרון

3. (10 נקודות) סבתא עשתה עוגה. לארוחת ערב יגיעו P או Q אנשים (P ו-Q מספרים זרים, כלומר, אין להם מחלק משותף מלבד 1). לאיזה כמות קטנה ביותר של חלקים (לאו דווקא שווים) מספיק לחתוך אותו, כדי שבכל מקרה היא תוכל לחלק אותו בצורה שווה לכל האורכים?
ד. פומין
פתרון

4. ABCD – טרפז, AB בסיס H , AC=BC אמצע של AB.
יהי l ישר, שעובר דרך H, וחותך את הישרים AD ו- BD בנקודות P ו- Q בהתאמה.
הוכח שזוויות ACP ו- QCB שוות, או שסכומם 180o.
א. שריגין
פתרון

5. האם קיים רב-פאון קמור שאחד החתכים המישוריים שלו הוא משולש (חתך זה לא עובר דרך קודקודים) ובכל קודקוד מתכנסים:
א. (4 נקודות) לפחות 5 מקצועות,
ב. (6 נקודות) בדיוק 5 מקצועות?
ג. הלפרין
פתרון

6. (12 נקודות) על דף נייר ריבועי בעל צלע A, נמצאים מספר כתמים. שטח של כל כתם הוא 1 לכל היותר. מתברר שכל ישר שמקביל לצלעות הדף חותך לא יותר מכתם אחד. הוכח שסכום שטחי הכתמים הוא A לכל היותר.
א. ראזבורוב
פתרון