תחרות מס':11

תש"נ (1989-1990)

סתיו

כיתות ט'-י'

1. 3 רצי מרתון   Y ,X ו-Z מתחרים זה בזה. Z התעכב בקו ההתחלה והתחיל לרוץ אחרון מבין כולם. Y התחיל לרוץ שני. Z בזמן המרוץ התחלף במקומות (מקום ראשון, שני או שלישי) עם שאר הרצים 6 פעמים ו-X התחלף 5 פעמים. ידוע ש-Y הגיע ראשון לסוף. מה היה סדר ההגעה של רצי המרתון?
פתרון

2. אורכי הצלעות של משולש חד זווית – 3 מספרים טבעיים עוקבים. הוכח שהגובה לצלע אמצעי מחלקת אותה לשני קטעים שההפרש ביניהם שווה ל- 4.
פתרון

3. נתונים 1989 מספרים. ידוע שסכום כל 10 מספרים מתוכם הוא חיובי. הוכח שסכום כל המספרים גם הוא חיובי.
פתרון

4. פתרו במספרים טבעיים: x + 1/(y + 1/z) = 10/7
ג. הלפרין
פתרון


כיתות יא'-יב'




1. 10 חברים שלחו זה לזה כרטיסי ברכה כך, שכל אחד שלח 5 ברכות. הוכיחו שיימצאו 2 ששלחו ברכות זה
לזה.
פתרון

2. על מישור נתונות הנקודות K, L ו-M והן האמצעים של 3 צלעות שוות עוקבות של מרובע.
שחזרו את המרובע.
פתרון
3. האם קיימים 1,000,000 מספרים טבעיים כך, שאף סכום של חלק מהמספרים האלה לא מהווה
ריבוע שלם?
פתרון
4. המספרים 21989 ו- 51989 רשומים זה אחרי זה (בכתיבה עשרונית). כמה סה"כ ספרות רשומות?
ג. הלפרין
פתרון



אביב


כיתות ט'-י'


1.(4 נקודות) הוכיחו שלכל n טבעי מתקיים השוויון:
(1/n)2+(1/n + 1/(n-1))2+(1/n + 1/(n-1)+...+1)2 = 2n-(1 + 1/2+...+1/n)
ס. מנוקיאן, ירוואן
פתרון

2.(4 נקודות) נתונים שני מעגלים שלא נמצאים אחד בתוך השני ולא מכילים זה את זה. נתבונן בישר שמחבר את מרכזי המעגלים. מתוך כל נקודות החיתוך של הישר הזה אם המעגלים, נבחר שני נקודות מרוחקות ביותר, A1 ו-A2 , כך ש-A1 נמצאת על המעגל הראשון ו-A2 על המעגל השני. מה נקודה A1 יוצאים שתי קרניים שמשיקות למעגל השני, ובונים מעגל K1 שמשיק לקרניים ולמעגל הראשון מבפנים. מ-A2 מעבירים שתי קרניים אשר משיקות למעגל הראשון ובונים מעגל K2 אשר משיק לקרניים אלו ולמעגל השני מבפנים. הוכח/י שהמעגלים K1 ו-K2 שווים בגודלם.
י.טבוב,סופיה
פתרון

3.(5 נקודות) נתונות 27 קוביות, כולן באותו גודל כך ש: 9 מהן אדומות, 9 ירוקות ו-9 לבנות. האם ניתן להרכיב את כולן לקובייה אחת גדולה כך שכל עמודה של הקובייה הגדולה (שמורכבת מ-3 קטנות) תהיה מורכבת מקוביות משני צבעים בדיוק? (מתבוננים בכל העמודות שמקבילות לצלעות הקובייה- סה"כ 27 עמודות).
ס.פומין
פתרון

4.(8 נקודות) נתונות 61 מטבעות, כולן נראות אותו הדבר. ידוע, ששתיים מהם מזויפות, ושמשקלן שווה זו לזו ושמשקל של מטבע מזויפת שונה ממשקל מטבע אמיתית (לא ידוע אם מטבע מזויפת קלה או כבדה יותר מאמיתית). איך ניתן לגלות אם מטבע מזויפת כבדה או קלה יותר ממטבע אמיתית באמצעות 3 שקילות במאזניים? (אין צורך למצוא את המטבעות עצמן)
ד.פומין
פתרון


כיתות יא'-יב'

1.(6 נקודות) יש לסרטט (באמצעות סרגל ומחוגה) משולש, כששתיים מאורכי הצלעות שלו ידועות, ובנוסף ידוע, שהתיכון לצלע השלישית מחלק את זווית המשולש ביחס של 1:2.
ו.צ'יקין
פתרון

2. הוכיחו ש:
א.(3 נקודות) אם את המספר הטבעי n ניתן להציג בצורה:n=4k+1 אז קיימים n מספרים טבעיים אי זוגיים שסכומם שווה למכפלתם.
ב.(4 נקודות) אם לא ניתן להציג את n בצורה זו אז לא קיימים n מספרים אי זוגיים כאלה.
מ.קונצוויץ'
פתרון

3. מהי הכמות המינימאלית של הנקודות שצריך לסמן על המשטח של:
א.(2 נקודות) תריסרון ( דודקהדרון )
ב.(5 נקודות) עשרימון ( איקוסהדרון )
כך שעל כל פאה תהיה לפחות נקודה אחת.
ג. הלפרין .
פתרון

4.(7 נקודות) נתונות 103 מטבעות, כולן נראות אותו הדבר. ידוע, ששתים מהם מזויפות, ושמשקלן שווה זו לזו ושמשקל של מטבע מזויפת שונה ממשקל מטבע אמיתית (לא ידוע אם מטבע מזויפת קלה או כבדה יותר מאמיתית). איך ניתן לגלות האם מטבע מזויפת כבדה או קלה יותר ממטבע אמיתית באמצעות 3 שקילות במאזניים? (אין צורך למצוא את המטבעות עצמן).
ד.פומין
פתרון