תחרות מס': 10


תשמ"ט (1988-1989)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) בכל קודקוד של קוביה רשום מספר 1 או 1- . במרכז של כל פאה רשום מספר, ששווה למכפלת מספרי הקודקודים שלה. האם הסכום הכולל של כל ה- 14 מספרים יכול להיות 0 ?
ג. הלפרין
פתרון

2. (3 נקודות) תוך ריבוע ABCD נבחרה נקודה M, כך שהזוויות MAC ו- MCD שוות ל- u. מצא את גודל הזווית ABM.
פתרון

3. (3 נקודות) רושמים את המספרים 1, 2, 3, ... , N בסדר כלשהו an, … , a3, a2, a1
ואז מחשבים סכום כזה: S=a1/1+a2/2+a3/3+…+an/n.
מצא N כזה, שבין הסכומים האלה (עבור כל מיני תמורות אפשריות) יופיעו כל המספר השלמים מ-N ועד 100+N.
פתרון

4. א. (3 נקודות) נתונים 2 גלגלי שיניים זהים, בעלי 14 שיניים כל אחד. הניחו אותם אחד על השני, כך שהשיניים מתלכדים, והיטל מישורי שלהם נראה כמו של גלגל שיניים בודד. לאחר מכן שברו 4 זוגות של שיניים מתלכדים. האם בהכרח ניתן לסובב את הגלגלים כך שהיטל מישורי שלהם יראה כמו גלגל שיניים אחד שלם?
ב. (3 נקודות) אותה שאלה עבור גלגלי שיניים בעלי 13 שיניים, ששברו להם 4 זוגות שיניים.
פתרון

5. מצולע קמור בעל N צלעות מחולק למשולשים ע"י מספר אלכסונים שלא חותכים אחד את השני. מותר לעשות פעולה כזאת: לקחת זוג משולשים ABD ו- BCD שיש להם צלע משותף ולהחליף אותם במשולשים ABC ו- ACD. יהיה (N)P המספר הקטן ביותר של פעולות כאלה שמספיק לבצע כדי להעביר חלוקה כלשהי לכל חלוקה אחרת . הוכח כי:
א. (2 נקודות) P(N)≥N-3
ב. (2 נקודות) P(N)≤2N-7
ג. (3 נקודות) P(N)≤2N-10 עבור N ≥ 13
ד. פומין (הרעיון נלקח מ- W. Thurson, D. Sleator, R. Tarjan )
פתרון

6. (8 נקודות) האם קיים מספר M כזה שאף מספר טבעי, שהרישום עשרוני שלו מכיל רק אפסים ואחדים, כאשר כמות האחדים היא 1988 לכל היותר, לא יתחלק ב- M ?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) כמה משבצות מספיק לסמן בלוח שחמט כדי ש
(א) לא יהיו משבצות שכנות (כאלו שיש להן צלע או קודקוד משותף)
(ב) סימון של כל משבצת נוספת יהיה בניגוד לסעיף א'.
מצא שיטה לסמן מספר קטן ביותר של משבצות והוכח שאי-אפשר להקטין מספר זה.
א. אנג'אנס
פתרון

2. (3 נקודות) הוכח, כי a2pq+b2qr+c2rp≤0
בהינתן c ,b ,a צלעותיו של משולש, p+q+r = 0 .
י. מוסטפאייב
פתרון

3. (4 נקודות) המספרים 1, 2, 3, ... , N רשומים בשורה,
כך שאם במקום כלשהו (חוץ מראשון) רשום i אז
איפשהו לפניו רשום i+1 או i-1.
כמה דרכים קיימות לעשות דבר כזה?
א. אנג'אנס
פתרון

4. (6 נקודות) בארץ מסוימת 1988 ערים ו- 4000 כבישים. הוכח שקיים מסלול מעגלי שעובר ב- 20 ערים לכל היותר.
א. ראזבורוב
פתרון

5. (7 נקודות) האם קיים מספר M כזה שאף מספר טבעי, שהרישום עשרוני שלו מכיל רק אפסים ואחדים, כאשר כמות האחדים היא 1988 לכל היותר, לא יתחלק ב- M ?
פתרון

6. (7 נקודות) M היא נקודה פנימית במלבן ABCD, ששטחו S.
הוכח כי S ≤ AM·CM+BM·DM
א. גולדשייד
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) המדרגות מורכבות מ- 100 מדרגות. יונתן רוצה לרדת במדרגות, והוא משתמש בקפיצות למעטה ולמעלה לסירוגין (למעטה – למעלה – למעטה – למעלה ...). יש קפיצות מ-3 סוגים – 6 מדרגות (מדלג על 5 מדרגות ונוחת על מדרגה שישית), 7 מדרגות ו- 8 מדרגות. אסור ליונתן לדרוך פעמים על אותה מדרגה. האם הוא יוכל לרדת?
ס. פומין
פתרון

2. (3 נקודות) במשבצת מסוימת של לוח שחמט עומד אסימון. שניים מזיזים את האסימון לפי התור, אבל החל מהמהלך השני המרחק שעובר האסימון חייב להיות גדול יותר מאשר במהלך הקודם. זה שלא מסוגל לעשות מהלך בתורו, מפסיד. איזה שחקן תמיד יוכל לנצח? (האסימון תמיד חייב להיות במרכז המשבצת)
פ. נזרוב
פתרון

3. מרובעים קמורים ABCD (עשוי מנייר) ו -PQRS (עשוי מקרטון) נקראים מתאימים אם שני תנאים מתקיימים:
(1) אפשר להניח את המרובע מקרטון על המרובע מנייר כך שקודקודיו של מרובע קרטון יהיו על צלעותיו של מרובע נייר, כל קודקוד על צלע אחר.
(2) אם מקפלים לאחר מכן 4 משולשי נייר קטנים על מרובע הקרטון, הם יכסו את כולו בשכבה אחת.
א. (2 נקודות) הוכח שאם מרובעים מתאימים אז למרובע נייר או ששני צלעותיו נגדיות מקבילות, או שאלכסוניו מאונכים.
ב. (3 נקודות) הוכח שאם ABCD מקבילית אז אפשר לייצר מצולע קרטון מתאים.
נ. וואסילייב
פתרון

4. (5 נקודות) הוכח שאם K מספר זוגי אז אפשרי לרשום את כל המספרים מ-1 ועד 1-K בסדר כזה שסכום של אף רצף לא תתחלק ב- K.
פתרון

5. (7 נקודות) ממרכז המעגל יוצאים N ווקטורים, שהקצוותיהם מחלקים את המעגל ל- N קשתות שוות. חלק מהווקטורים אדומים, אחרים – כחולים. נחשב סכום זוויות "ווקטור אדום – וקטור כחול" כאשר הזווית נמדדת מהווקטור האדום לווקטור הכחול נגד כיוון השעון, ונחלק את הסכום הזה בכמות הכוללת של זוויות כאלה. הוכח, שהערך שמתקבל של "זווית ממוצעת" שווה ל- 180o.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

6. א. (4 נקודות) הוכח, שאם ב- 3n משבצות של טבלא 2n×2n רשומות כוכביות, אז אפשר למחוק n שורות ו- n עמודות כך שכל הכוכביות ימחקו.
ב. (4 נקודות) הוכח, שאפשר לרשום 3n+1 כוכביות במשבצות של טבלא 2n×2n , כך שלאחר מחיקה של n שורות ו- n עמודות כלשהן תישאר כוכבית אחת לפחות.
ק. קוחאס
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מצא שני מספרים שש-ספרתיים כך שאם רושמים אחד אחרי השני אז המספר ה12-ספרתי שמקבלים מתחלק במכפלה שלהם. מצא את כל זוגות המספרים מהסוג הזה.
מ. גוסרוב
פתרון

2. (4 נקודות) בתוך משולש ABC נבחרה נקודה M כך ש  ∠BAC/2 + 90o = ∠BMC ,
וישר AM עובר במרכז המעגל החוסם של משולש BMC. הוכח כי M הוא מרכז מעגל החסום של ABC.
פתרון

3. (5 נקודות) נתונות 1000 פונקציות לינאריות: fk(x)=pkx+qk כאשר k מ-1 עד 1000.
מנסים למצוא את הערך של הרכבה שלהם בנקודה x0,
כלומר את המספר f(x)=f1(f2(f3(... f1000(x0)...))) .
הוכח שאפשר לעשות את זה ב- 30 שלבים לכל היותר כאשר בכל שלב אפשר לבצע בו זמנית
כל מספר של פעולות חשבון על זוגות של מספרים שחושבו בשלבים הקודמים,
ובשלב ראשון נתונים מספרים p1, p2, ..., p1000, q1, q2, ..., q1000, x0 .
ס. פומין
פתרון

4. (6 נקודות) בחברה, שיש בה 11 עובדים, קיים ועד עובדים. בכל אסיפה של הועד, או שמקבלים חבר חדש, או שמסלקים חבר מהוועד. אסור שיהיו בוועד פחות מ- 3 חברים, כמו כן, אסור לחזור להרכב שכבר היה. האם יכול לקרות ביום אחד, שכל ההרכבים האפשריים של הועד כבר היו ?
ס. פומין
פתרון

5. (7 נקודות) נתונים N ישרים במישור (N>1) שאף שתיים מהם לא מקבילים ואף 3 לא נפגשים בנקודה אחת. הוכח, שבכל אזור שנוצר אפשר לרשום מספר שלם שערך המוחלט שלו אינו עולה על N, כך שסום המספרים בכל צד של כל ישר יהיה שווה ל- 0.
ד. פומין
פתרון

6. (7 נקודות) נתונים 101 מלבנים שצלעותיהם שלמות ולא גדולות ממאה. הוכח, שמתוכם יש שלושה מלבנים, A, B, C כך שאפשר להכניס A לתוך B , ואת B לתוך C.
נ. סדרקיאן
פתרון