תחרות מס':10

תשנ"ט (1988-1989)

סתיו

כיתות ט'-י'

1.(3 נקודות) ידוע שכמות הבלונדינים מתוך בעלי העיניים הכחולות גדולה יותר מאשר כמות הבלונדינים מתוך כל בני האדם.
איזה כמות גדולה יותר: כמות האנשים בעלי העיניים הכחולות מתוך הבלונדינים או כמות האנשים בעלי עיניים כחולות מתוך כל בני האדם?
פתרון

2.(3 נקודות) בתוך משולש יש 2 גבהים אשר לא קטנים מהצלעות עליהן הם נשענים. מצאו את זוויות המשולש.
פתרון

3.(3 נקודות) הוכיחו שמכל 7 מספרים טבעיים (אשר לא בהכרח עוקבים) ניתן לבחור 3 מספרים שסכומם מתחלק ב- 3.
פתרון

4.(3 נקודות) כל פאה של קובייה חתכו ל-4 ריבועים שווים וצבעו את הריבועים ב-3 צבעים שונים כך, שכל שני
ריבועים בעלי גבול משותף יהיו צבועים בצבעים שונים. הוכיחו שיש 8 ריבועים מכל צבע.
פתרון


כיתות יא'-יב'



1.(3 נקודות) האם קיים מספר כלשהו שהוא חזקה של 2 שע"י שינוי סדר ספרותיו
ניתן לקבל מספר שהוא חזקה אחרת של 2?
פתרון

2.(3 נקודות) H היא נקודת החיתוך של הגבהים במשולש ABC. הוכיחו שהרדיוסים של המעגלים החוסמים את
המשולשים ABH, ACH, BCH, שווים.
פתרון

3.(3 נקודות) הוכיחו שניתן להציב בקודקודים של מצולע כלשהו מספרים טבעיים כך, שלכל שני קודקודים
שמחוברים בצלע יהיו מספרים שיש להם מחלק משותף ולכל 2 קודקודים שלא מחוברים בצלע יהיו
מספרים ללא מחלק משותף.
*הערה: יש אינסוף מספרים ראשוניים.
פתרון

4.(3 נקודות) דף של מחברת צבוע ב- 23 צבעים, כאשר כל משבצת צבועה בצבע מסוים.
זוג צבעים נקרא טוב אם קיימות שני משבצות סמוכות מהצבעים האלה.
מה המספר המינימאלי של זוגות טובים?
פתרון



אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) המספרים החיוביים a, b, c מקיימים את האי-שוויונות הבאים:
a+b+c ≤ 1 ו- a ≤ b ≤ c הוכח ש: a2+3b2+5c2 ≤ 1
פ.נזרוב
פתרון
2. (3 נקודות) במשולש ABC העבירו תיכון AM. האם יכול להיות שרדיוס המעגל החסום במשולש ABM יהיה
גדול פי 2 מרדיוס המעגל החסום במשולש ACM ?
ד.פומין
פתרון
3. (3 נקודות) איזה מספר (ספרה) עלינו להציב במקום הסימן "?" במספר
(יש 50 ספרות של 8 ו-50 ספרות של 9) כך שהמספר יתחלק ב-7?
מ.גוסרוב
פתרון
4. (3 נקודות) האם ניתן לצייר על קובייה הונגרית קו סגור כך שהוא יעבור בכל ריבוע פעם אחת בלבד? (הקו לא
עובר דרך קודקודי הריבועים).
ס.פומין
פתרון


כיתות יא'-יב'


1.(3 נקודות) המספרים החיוביים a,b,c,d מקיימים את האי-שוויונות הבאים:
a ≤ b ≤ c ≤ d ; a+b+c+d ≤ 1 הוכח ש: a2+3b2+5c2+7d2 ≤ 1.
פ.נזרוב
פתרון

2.(3 נקודות) ידוע שבטרפז ABCD ניתן לחסום מעגל. הוכיחו שהמעגלים
שהקטרים שלהם הם שוקי הצלעות משיקים זה לזה.
פתרון

3.(3 נקודות) מצאו 6 מספרים טבעיים כך שמכפלת כל 2 מהם מתחלקת בסכום 2 המספרים הללו.
ד.פומין
פתרון

4.(3 נקודות) האם ניתן לצייר על קובייה הונגרית אלכסון בכל ריבוע קטן כך שאחרי זה יתקבל מסלול שלא חותך את עצמו?
ס.פומין
פתרון

גירסת תירגול שניתנה במוסקבה כיתות ט'-י'

1. המדרגות מורכבות מ- 100 מדרגות. יונתן רוצה לרדת במדרגות, והוא משתמש בקפיצות למעטה ולמעלה לסירוגין (למעטה – למעלה – למעטה – למעלה ...). יש קפיצות מ-3 סוגים – 6 מדרגות (מדלג על 5 מדרגות ונוחת על מדרגה שישית), 7 מדרגות ו- 8 מדרגות. אסור ליונתן לדרוך פעמים על אותה מדרגה .האם הוא יוכל לרדת?
ס.פומין
פתרון

2. מרובעים קמורים ABCD (עשוי מנייר) ו -PQRS (עשוי מקרטון) נקראים מתאימים אם שני תנאים מתקיימים:
(1) אפשר להניח את המרובע מקרטון על המרובע מנייר כך שקודקודיו של מרובע קרטון יהיו על צלעותיו של מרובע נייר, כל קודקוד על צלע אחר.
(2) אם מקפלים לאחר מכן 4 משולשי נייר קטנים על מרובע הקרטון, הם יכסו את כולו בשכבה אחת.
א) הוכח שאם מרובעים מתאימים אז למרובע נייר או ששתי צלעותיו נגדיות מקבילות, או שאלכסוניו מאונכים.
ב) הוכח שאם ABCD מקבילית אז אפשר לייצר מצולע קרטון מתאים.
נ.ואסילייב
פתרון

3. איזה ספרה צריך לרשום במקום סימן "?" במספר 999....999?888...888 (ספרות 8 ו-9 רשומות 50 פעם כל אחת) כך שיתקבל מספר שמתחלק ב- 7 ?
מ.גוסרוב
פתרון

4. האם ניתן לצייר על קובייה הונגרית אלכסון בכל ריבוע קטן כך שאחרי זה יתקבל מסלול שלא חותך את עצמו?
ס.פומין
פתרון