1. אם אז מכאן הם כל הפתרונות במקרה זה.
תפקידי m ו-n בבעייה סימטריים, לכן ללא הגבלת הכלליות נניח m. החזקה המקסימלית של 2 שמחלקת ריבוע של מספר היא זוגית, לכן וגם מכיוון ש- שלם (a=n-m>0) הוא ריבוע שלם: או לכן (כי אם הפרש של מספרים שהם חזקות של 2 הוא 2 אז המספרים הם 2 ו-4). מכאן כל השלשות הן:


2. אם כל המספרים כחולים, אז השאלה ריקה מתוכן.
אם כל המספרים אדומים, אז המכפלה היא אדומה.
אחרת, נניח כי מכפלת שני מספרים אדומים r ו-R היא מספר כחול b. אז r+b=B הוא מספר כחול לפי הנתון ולכן R(r+b)=RB הוא אדום. אבל מצד שני R(r+b)=Rr+Rb=b+Rb ולכן זה סכום של מספר כחול ומספר אדום, כלומר מספר כחול. זוהי סתירה, שממנה נובע שמכפלת שני מספרים אדומים היא אדומה.
***
אפשר להמשיך את השיקול הזה ולמצוא את כל האפשרויות לצביעה כזו של מספרים:
הוכחנו כי מכפלה של מספר אדום בכל מספר היא אדומה (גם אם המספר השני אדום וגם אם הוא כחול). יהי R המספר האדום הקטן ביותר. אם זה 1, אז כל המספרים הם אדומים. אחרת יהי r מספר אדום אחר. נחלק אותו ב-R עם שארית: r=nR+c. אם c הוא לא 0, אז הוא כחול (כי הוא קטן מ-R) ו-nR הוא אדום, לכן סכומם r כחול בסתירה להנחה. הוכחנו שכל מספר אדום מתחלק ב-R ושכל מספר שמתחלק ב-R אדום. כל שאר המספרים הם כחולים. אלה כל האפשרויות לצביעת המספרים וכל צביעה כזו מקיימת את תנאי הבעייה.


3.

ולכן

כלומר מספר ה-9-יות אחרי 3.4 הוא בעצם הרבה יותר גדול מ-100.


4. נפתור את הבעיה עבור מספרי מטבעות שונים:
3 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 1,2 ומנצח
4 מטבעות: ג'ון חייב לחלק את הערמות לערמות 1,3 ולכן ג'ים מנצח במשחק
5 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 1,4 ומנצח כי בערמה של 4 מטבעות מנצח השחקן שלא מתחיל.
6 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 2,4 ובערמה של 4 מטבעות השחקן שמתחיל מפסיד, לכן ג'ון מנצח במשחק
7 מטבעות: אם ג'ון מחלק את הערמה באופן 1,6 או 2,5, הוא יפסיד (כי בערמות של 5 ו-6 מטבעות מנצח השחקן שמתחיל). לכן הוא חייב לחלק את הערמה 3,4. בערמה של 3 יש מהלך אחד (1,2) ובערמה של 4 יש 2 מהלכים (1,3 -> 1, 1, 2), סה"כ 3 מהלכים ולכן ג'ון מפסיד וג'ים מנצח.
8 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה 1,7 ומנצח (כי בערמה של 7 מטבעות מנצח השחקן שמשחק שני)
9 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה 7,2 ומנצח
10 מטבעות:אם ג'ון מחלק את הערמה 1,9 או 2,8, הוא מפסיד (כי בערמות של 8 ו-9 מטבעות מנצח השחקן הראשון), אם הוא מחלק אותה 3,7, אז הערמה של 3 מעבירה מהלך ובערמה של 7 מנצח השחקן השני, לכן סה"כ ג'ון מפסיד במקרה זה, ואם הוא מחלק את הערמה 4,6, אז הערמה של 4 לא מעבירה מהלך ובערמה של 6 מנצח השחקן הראשון, לכן ג'ון מפסיד גם במקרה זה. סה"כ ג'ים מנצח בכל מקרה.
11 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה 1,10 ומנצח (כי בערמה של 10 מטבעות מנצח שחקן שני)
13 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 5,8. נעבור על המהלכים האפשריים של ג'ים:
5->1,4: הערמה של 4 לא מעבירה מהלך ובערמה של 8 מנצח השחקן המתחיל, לכן במקרה זה ג'ון מנצח.
5->2,3: ג'ון במקרה זה יחלק את הערמה של 8 ל-3,5. אם ג'ים יחלק בהמשך ערמה של 3, ג'ון בתגובה יחלק את הערמה השניה של 3 ולא יפסיד מהלך, ובערמה של 5 מנצח השחקן השני, כלומר ג'ון.
8->1,7: ג'ון מחלק בתגובה 5->1,4; הערמה של 4 מאפשרת לו לא להפסיד מהלך ובערמה של 7 מנצח השחקן השני, כלומר ג'ון
8->2,6: ג'ון מחלק את 6->1,5. כעת יש 2 ערמות של 5 מטבעות ולכל מהלך של ג'ים, ג'ון יוכל לעשות את אותו מהלך על מטבעות של הערמה השנייה ולכן לנצח.
8->3,5: ג'ון מחלק את הערמה של 5 ל-2,3; אם ג'ים יחלק בהמשך ערמה של 3, ג'ון בתגובה יחלק את הערמה השניה של 3 ולא יפסיד מהלך, ובערמה של 5 מנצח השחקן השני, כלומר ג'ון.
בכל מקרה ג'ון מנצח במשחק זה עבור 13 מטבעות.

אחד מהתלמידים שהשתתפו בתחרות, בר גואטה, הצליח לחשב (כבר אחרי התחרות) מי מנצח במשחק זה לכל N עד N=30 !!! מסתבר שהמצב שבו מנצח ג'ים (השחקן השני) הוא נדיר מאוד.
זה קורה עבור N-ים הבאים : 1, 2, 4, 7, 10, 20, 23, 26. כמות כזאת של איברים מספיקה בשביל למצוא את הסדרה הזו באנציקלופדיה של סדרות השלמים של סלואן. בצורה כזאת מצאנו את כל מצבי הניצחון של ג'ים עד 1000 , וגילינו שהמשחק הזה הוה ידוע, קוראים לו Grundy's game ואפשר למצוא מידע עליו באינטרנט ובספרים על קומבינטוריקה. מחברי השאלות של אורנג' לא ידעו על זה מקודם.


5. לחץ כאן בשביל לראות סיפור ב-WORD שמכיל 4 פתרונות שונים.
הפתרון הרביעי (והקצר ביותר) הגיע רק בתאריך 5/3/2006 והוא שייך לדניאל יקלצ'יק , תלמיד כיתה ט' מחיפה.