1. כך נוכל לצבוע רק 7 משבצות:
בכל מלבן 1x4 חייבת להיות משבצת שחורה ולכן מכיסוי כזה : רואים שצריכים לצבוע לפחות 6 משבצות.
נניח כי אפשר לצבוע רק 6 משבצות. אז בכל שורה ובכל עמודה חייבת להיות משבצת שחורה (אחרת ניתן לבחור בשורה\עמודה זו מלבן 1x4 לבן). לכן יש משבצת שחורה בעמודה ראשונה. באותה שורה חייבת להיות עוד משבצת שחורה (אחרת מלבן 1x4 מימין למשבצת שחורה לבן כולו). 2 משבצות אלה ביחד עם 4 משבצות שחורות בשאר השורות כבר נותנים 6 משבצות, ולכן אין יותר שורות עם 2 משבצות שחורות. כעת אם נבחר משבצת שחורה מעמודה אחרונה, אז בשורה שלה חייבת להיות עוד משבצת שחורה מאותו שיקול כמו קודם, ולכן זוהי אותה שורה עם משבצת שחורה מעמודה ראשונה. כעת, או מתחת או מעל לשורה זו יש עוד לפחות 2 שורות (כי יש סה"כ 5 שורות). נניח כי יש לפחות 2 שורות מעליה, ובכל שורה מעליה יש רק משבצת שחורה אחת. אז זם בריבוע הזה: וגם בריבוע הזה: חייבת להיות משבצת שחורה. לכן היא חייבת להיות באמצע שורה שנייה. כעת בשני הריבועים האלה: חייבת להיות משבצת שחורה, אבל בשורה עליונה יש רק משבצת שחורה אחת. סתירה.


2.
ראה איור!
s - כפית
c - כוס
(א) = s - s2/(c+s) = sc/(c+s)
(ב) = s2/(c+s) - s3/(c+s)2 = s2c/(c+s)2
(ג) = s2c/(c+s)2
(ד) = sc/(c+s)-s2c/(c+s)2 = s·c2/(c+s)2
(ה) = o
(ו) = sc/(c+s)

מכאן (א)=(ו)>(ד)>(ב)=(ג)>(ה)=0


3. כל 8 המשולשים בציור שווים:
ושטח כל אחד מהם הוא 1/2 מ"ר :
לכן סה"כ שטח המלבן הוא 4 מ"ר.


4. נפתור את הבעיה עבור מספרי מטבעות שונים:
3 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 1,2 ומנצח
4 מטבעות: ג'ון חייב לחלק את הערמות לערמות 1,3 ולכן ג'ים מנצח במשחק
5 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 1,4 ומנצח כי בערמה של 4 מטבעות מנצח השחקן שלא מתחיל.
6 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה לערמות 2,4 ובערמה של 4 מטבעות השחקן שמתחיל מפסיד, לכן ג'ון מנצח במשחק
7 מטבעות: אם ג'ון מחלק את הערמה באופן 1,6 או 2,5, הוא יפסיד (כי בערמות של 5 ו-6 מטבעות מנצח השחקן שמתחיל). לכן הוא חייב לחלק את הערמה 3,4. בערמה של 3 יש מהלך אחד (1,2) ובערמה של 4 יש 2 מהלכים (1,3 -> 1, 1, 2), סה"כ 3 מהלכים ולכן ג'ון מפסיד וג'ים מנצח.
8 מטבעות: ג'ון מחלק את הערמה 1,7 ומנצח (כי בערמה של 7 מטבעות מנצח השחקן שמשחק שני)


5. השעון של יעל מפגר 20 שניות כל שעה, לכן שעה כל 180 שעות, ולכן 12 שעות כל 90 יום. לכן בין הרגעים בהם בשעון של יעל מראה זמן נכון עוברים 90 יום. בשנה לא מאוברת בין הראשון בינואר עד סוף מרץ עוברים רק 31+28+31=90 ימים, כלומר השעון של יעל לא יכול להראות פעמיים זמן נכון לפני הראשון באפריל. לכן השנה שיעל חוגגת את יום ההולדת ה-12 שלה היא מאוברת. לכן יעל נולדה ב-1992 וחגגה את יום ההולדת ה-12 שלה ב-2004 . לכן ביום בו נערכה התחרות (23/02/2006) יעל היא בת 13.
(אפשר גם להסיק שהיא נולדה ב- 31/3/1992.)